Question

Uma ponte com a forma de um arco de parábola foi construída para servir de travessia sobre um rio. O esquema abaixo representa essa ponte em um sistema de coordenadas cartesianas xy. Nele, os pontos A, B e C correspondem, respectivamente, à margem esquerda, à margem direita e ao ponto mais alto da ponte.

As distâncias dos pontos A, B, e C até a superfície do rio são iguais, respectivamente, a 0,5 m, 1,5 m e 2,3 m. Sabendo que o ponto C tem, nesse sistema, abscissa igual a 6 m, calcule, em metros, a largura do rio.

Answer 1

A largura do rio é igual a 10 metros.

Observe que A = (0,0), B = (x,1) e C = (6,1.8).

Como C é o ponto mais alto, então ele representa o vértice da parábola y = ax² + bx + c.

As coordenadas do vértice da parábola são definidas por:

• $xv=-\frac{b}{2a}$ e $yv=-\frac{(b^2-4ac)}{4a}$.

Se a parábola passa pela origem do plano cartesiano, então c = 0.

Além disso:

6 = -b/2a

b = -12a.

Logo:

1,8 = -((-12a)² - 4.a.0)/4a

7,2a = -144a²

144a = -7,2

a = -0,05.

Consequentemente, b = 0,6. Ou seja, a equação que representa a parábola é -0,05x² + 0,6x = 0.

Precisamos calcular a coordenada x do ponto B. Como a coordenada y desse ponto é 1, então:

1 = -0,05x² + 0,6x

0,05x² - 0,6x + 1 = 0

5x² - 60x + 100 = 0

x² - 12x + 20 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-12)² - 4.1.20

Δ = 144 - 80

Δ = 64

$x=\frac{12+-\sqrt{64}}{2}$

$x=\frac{12+8}{2}$

$x'=\frac{12+8}{2}=10$

$x''=\frac{12-8}{2}=2$.

O ponto B está após o ponto C. Então, x = 10 e podemos concluir que a largura do rio é igual a 10 metros.

Answer 2

A largura desse rio em metros, será de: 10 metros.

Vamos aos dados/resoluções:  

A função quadrática (que também é conhecida como função polinomial do segundo grau) é aquela que é apresentada sempre como: f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c projetam números verdadeiros porém "a" se mostra diferente de zero.

Então quando utilizamos a forma canônica da mesma, teremos a lei da formação da parábola, portanto:

y = a . (x - xv)² + yv

y = a . (x - 6)² + 1,8  

PS: E como o gráfico desenvolve por (0,0), então:  

0 = a . (0-6)² + 1,8  

a = - 1/20

y = - 1/20 . (x - 6)² + 1,8

Porém o gráfico também adentra por (d,1), com isso:  

1 = -1/20 . (d - 6)² + 1,8

d (-6)² = 16 ;

d - 6 = ± 4  

d = 10 ou d = 4.

Finalizando observando que d > 6, a largura do rio será d = 10m.  

 

Para saber mais sobre o assunto:

https://brainly.com.br/tarefa/36411368

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)