Uma pirâmide tem a soma dos ângulos internos das faces igual a 7.200 graus. Ao secciona-la por um plano paralelo à base passando pelos pontos médios das arestas laterais , o sólido resultante da retirada da pirâmide menor tem o número de diagonais igual a :
A84
B105
C210
D378
E483
Soluções para a tarefa
Se for uma pirâmide de base quadrada, serão 4 triângulos + 1 quadrado
Se for uma pirâmide de base pentagonal, serão 5 triângulos + 1 pentágono
Assim sendo, o que limitará a quantidade de faces será a base.
Supondo que a base possua x lados, então x faces triangulares existirão, mais uma face de x lados.
Faces = x + 1
A soma dos ângulos do triângulo = 180°
A soma dos ângulos do polígono com x lados = (x-2).180°
Somando tudo:
180.x + (x-2).180 = 7200
180.(x+x-2) = 7200
2x-2 = 7200/180
2x-2 = 40
2x = 42
x = 21 lados
Ao seccionarmos a pirâmide, restará um tronco de pirâmide. Dito isso, para calcular suas diagonais perceba que existem duas possibilidades:
1) Diagonais das faces
2) Diagonais que cruzam o poliedro resultante
A questão quer o 2), pois o 1) são as diagonais da própria face.
Para obter essa quantidade de diagonais que cruzam o poliedro, podemos imaginar experimentalmente e concluir que esse valor será dado pela fórmula: d = (n-3).n (sem dividir por 2).
Assim sendo, temos:
d = (n-3).n
d = (21-3).21
d = 18.21
d = 378 diagonais
Resposta: D)