Question

Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma de suas linhas de produção, sendo que os recursos são os mesmos para tal produção. As quantidades de detergente e sabonete líquido produzidos podem ser representadas, respectivamente, por x e y. A interdependência dessas variáveis é dada por
$5x ^{2} + 5y = 45$
, e o gráfico de tal equação é conhecido também como curva de transformação de produto.
a) Aproximadamente, quanto se deve produzir de detergente para que tal quantidade seja a metade da de sabonete líquido?

Answer 1

5x^2 +5y=45
x^2 +y=9
X=Qnt. de detergente
y=Qnt. de sabonete líquido
Queremos x tal que x=y/2

(y/2)^2 +y=9
(y^2)/4 +y=9
(y^2 +4y)/4 = 36/4
y^2 +4y-36=0
Resolvendo em Bhaskara, Vc vai achar
y=-2+-2raiz(10). Como se trata da produção de algo, E não pode-se produzir uma quantidade negativa:
y=2raiz(10)-2 = 2(raiz(10)-1) = 4,325, aproximadamente.
Veja que se substituir este valor para y, você achar x=2,162, que é de fato metade de 4,325 aproximadamente.

Answer 2

Deve-se produzir 2,76 detergentes para que a quantidade de sabonete líquido seja igual à metade.

Resolução

Sabendo que a equação da quantidade de detergente e sabonete líquido produzidos é igual a $5x^2+5y=45$, sendo x a quantidade de detergente e y a de sabonete líquido.

Queremos encontrar quantos de detergentes devem ser produzidos para que quantidade sabonete líquido seja a metade, ou seja:

$x = 2y$

Para determinar essa quantidade, devemos substituir a relação acima na equação:

$5(2y)^2+5y=45 \Rightarrow 20y^2+5y-45=0$

Calculando as raízes, temos:

$y=\dfrac{-(5)\pm\sqrt{(5)^2-4 \cdot20 \cdot (-45)} }{2 \cdot 20}\\\\\\y=\dfrac{-(5)\pm\sqrt{3625} }{2 \cdot 20} \Rightarrowy=\dfrac{-(5)\pm60,21}{2 \cdot 20}\\\\\\y'=\dfrac{-5-60,21}{40}=-1,63\\\\\\\boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}y''=\dfrac{-5-60,21}{40}=1,38\end{array}}\end{array}}$

Considerando apenas o valor positivo temos que y é igual a 1,38. Substituindo na função encontramos x:

$5x^2+5 \cdot 1,38=45 \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{45-5 \cdot 1,38}{5}} \Rightarrow\boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}x=2,76\end{array}}\end{array}}$

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