Question

uma corda foi esticada a partir de um grampo fixo no chao ao topo de uma barraca ,formando um angulobde 60 graus com o solo . posteriormente, um ajuste se fez necessário , e o referido grampo foi afastado 5 metros do ponto onde estava , distanciando-se da barraca e formando com o solo um ângulo de 30 graus. dessa forma ,a altura da barraca é de , aproximadamente

Answer 1

Este exercício pode ser resolvido por trigonometria.
Uma barraca de altura "h", e um grampo fixo no chão a uma distancia x da barraca são ligados por uma corda, formando um angulo de 60º com o solo, isto caracteriza um triangulo retângulo de cateto oposto h e cateto adjacente x.
A relação trigonométrica envolvendo catetos é a tangente:
$tan( \alpha )=\frac{CO}{CA}$

Se α=60º, CO = h e CA = x, temos:
$tan(60)=\frac{h}{x}$

Depois, o grampo se afastou em 5 metros da barraca, formando um angulo de 30º. Agora CA = x+5 e α=30º.
$tan(30)=\frac{h}{x+5}$

Se,
$tan(30)= \frac{ \sqrt{3}}{3} \\ \\ tan(60)= \sqrt{3}$

Temos duas equações em função de x. A primeira sendo:
$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \\ \\ h= x\sqrt{3}$

E a segunda:
$\frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{h}{x+5} \\ \\ h= \frac{ \sqrt{3}}{3}(x+5)$

Agora, basta igualar as duas equações e achar o valor de x:
$h=x \sqrt{3} =\frac{ \sqrt{3}}{3}(x+5) \\ \\ x \sqrt{3} =x\frac{ \sqrt{3}}{3}+5\frac{ \sqrt{3}}{3} \\ \\ x \sqrt{3} -x\frac{ \sqrt{3}}{3}=5\frac{ \sqrt{3}}{3} \\ \\ 2x \frac{\sqrt{3}}{3}=5\frac{ \sqrt{3}}{3} \\ \\ 2x=5 \\ x=\frac{5}{2}$

Agora que temos x, basta calcular h:
$h= x\sqrt{3} \\ \\ h= \frac{5\sqrt{3}}{2}$