Uma corda de tirolesa, com 20 metros de comprimento, foi amarrada em uma plataforma (P) em um morro, formando um ângulo de 30° com o chão, como na figura a seguir. Considere que o morro tenha o formato de uma parábola, que sua base chegue a 18 metros de comprimento e o topo a 16 metros de altura.
A distância entre o ponto A, na base do morro e o ponto A, onde a corda será amarrada será de, aproximadamente
a) 9 m
b) 12,6 m
c)13,4 m
d)14,4 m
e)17 m
Soluções para a tarefa
A distância entre o ponto B, na base do morro, e o ponto A será de, aproximadamente, 13,4m (Alternativa C).
Seguindo os passos de Descartes
Usarei para a resolução noções de Geometria Analítica. Sendo assim, precisaremos introduzir um sistema de eixos cartesianos na figura que, como escolhi, terá a origem no ponto médio da base do morro (parábola). Veja a figura em anexo.
Se a base do morro tem 18 metros, a coordenada do ponto B é (9,0) e B' (oposto de B) é (-9, 0). Ainda, como a altura do morro é 16 metros, o vértice da parábola é o ponto V (0, 16). Logo, podemos encontrar a equação da parábola:
a(x - x₁)*(x - x₂) = 0
a(x - 9)*(x + 9) = 0
a(x² - 81) = 0
a(0² - 81) = 16
a(- 81) = 16
a = 16/-81
A parábola tem equação y = -16/81(x² - 81) ⇒ y = -16/81x² + 16
Aplicando agora trigonometria no triângulo retângulo APP' (ver figura):
sen 30° = PP'/AP
1/2 = PP'/20
PP' = 10 metros
Como P(xp, 10) pertence à parábola:
10 = -16/81(xp)² + 16
-6 = -16/81(xp)² + 16
(xp)² = 243/8
xp = √(243/8)
Logo, P tem coordenadas (√(243/8), 10).
Agora precisamos encontrar as coordenadas do ponto A. Usando a fórmula da distância para dos pontos A e P:
d² = (xa - xp)² + (ya - yp)²
20² = (xa - √(243/8))² + (0 - 10)²
300 = (xa - √(243/8))²
√300 = xa - √(243/8)
xa = √300 + √(243/8)
xa = √3/4 (40 + 9√2)
Calculando aproximadamente,
xa = 22,832
Logo, A = (22,832 ; 0)
Por fim, basta subtrair as coordenadas horizontais do ponto A e do ponto B:
22,832 - 9 = 13.832 (Alternativa C)
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