Uma aranha encontra-se no ponto A de sua teia e quer chegar ao ponto B sem passar mais de uma vez por um mesmo segmento da teia. Além disso, ao percorrer um segmento radial (em traço mais fino), ela deve seguir o sentido indicado pela flecha. Quantos são os caminhos possíveis?
Opção A
Opção B
Opção C
Opção D
Opção E
Soluções para a tarefa
Resposta:
Note que a aranha deve fazer 3 transição de níveis até chegar ao centro. Sempre de
um nível mais externo para um mais interno seguindo as setinhas. Vamos contar de quantas maneiras diferentes
podemos ir de um nível para o nível seguinte. Para isso considere os pontos A, C e D nas figuras.
Suponha que chega-se a um nível no ponto A. Existem 3 maneiras de chegar no próximo nível no ponto C: seguir
direto para C, dar uma volta no sentido horário e seguir para C e dar uma volta no sentido anti-horário e seguir
para C. Lembre-se que podemos repetir o ponto A, mas não trechos da teia. Já para o ponto D temos 2 formas de
chegar no próximo nível no ponto D seguindo no sentido horário ou no sentido nati-horário. Veja que há 4 pontos
com o mesmo papel que o ponto D.
Assim, exitem 3 + 4 · 2 = 11 formas de fazer a transição de nível e, como são 3 transições, temos 113
caminhos
possíveis para a Aranha ir de A até B. (Letra D)
Explicação passo-a-passo:
11³
A aranha pode percorrer 11³ caminhos diferentes para chegar do ponto A ao ponto B. Assim, a alternativa correta é a letra D).
Vamos analisar os possíveis movimentos da aranha ao longo da teia. É dito que ela pode se deslocar pela teia sem passar mais de uma vez por um mesmo segmento da teia (um dos lados do pentagrama). Assim, para ela ir de um ponto externo para um ponto mais interno da teia, ela pode primeiro andar ao longo do nível que ela se encontra em sentido horário ou anti-horário.
Caso ela ande em sentido horário, irá passar por, no máximo, 5 segmentos de reta antes de ir para o próximo nível (caso ela ande 5, chegará no ponto inicial do movimento no nível). Caso ela ande em sentido anti-horário, irá passar também por, no máximo, 5 segmentos de reta antes de passar para o próximo nível. Caso ela decida ir direto para o próximo nível, irá passar apenas por 1 segmento. Esse último segmento é comum a qualquer um dos movimentos que ela fizer, pois necessita dele para ir para outro nível.
Assim, descobrimos que o número máximo de movimentos que a aranha pode fazer em um nível é de 11.
Com esse resultado, para encontrar o número de caminhos possíveis, basta multiplicar esse valor três vezes, pois a aranha irá fazer três transições iguais à explicada acima antes de chegar no ponto B.
Portanto, concluímos que o número de caminhos possíveis é 11 x 11 x 11, ou 11³, tornando correta a alternativa D) 11³.
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