Question

Um trapézio possui 18 m² de área. Sabe-se que sua altura mede x, sua base maior mede x + 4 e sua base menor mede x + 2. Logo, o valor de x é igual a *
a) 1 m.
b) 2 m.
c) 3 m.
d) 4m.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades de geometria plana.

Seja um trapézio de área medindo $\mathbf{18~m^2}$, cuja altura mede $x$, sua base maior mede $x + 4$ e a base menor mede $x + 2$.

Devemos determinar o valor de $x$.

Primeiro lembre-se que a fórmula para a área de um trapézio de altura $h$, base maior $B$ e base menor $b$ é dada por:

$A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$

Substituindo as medidas e dados que nos foram informados, teremos:

$\dfrac{(x+4+(x+2))\cdot x}{2}=18$

Some e multiplique os valores no numerador, efetuando a propriedade distributiva.

$\dfrac{(2x+6)\cdot x}{2}=18\\\\\\ \dfrac{2x^2+6x}{2}=18$

Simplifique a fração por um fator $2$

$x^2+3x=18$

Subtraia $18$ em ambos os lados da equação

$x^2+3x-18=0$

Lembre-se que as soluções de uma equação quadrática completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq0$ é dada pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Substituindo os coeficientes $a = 1,~b=3$ e $c = -18$, teremos:

$x = \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-18)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$x = \dfrac{-3\pm\sqrt{9-(-72)}}{2}\\\\\\ x = \dfrac{-3\pm\sqrt{81}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $81=9^2$

$x = \dfrac{-3\pm9}{2}$

Separe as soluções

$x = \dfrac{-3-9}{2}~~~\mathbf{ou}~~~x = \dfrac{-3+9}{2}$

Some os valores e simplifique as frações

$x = \dfrac{-12}{2}~~~\mathbf{ou}~~~x = \dfrac{6}{2}\\\\\\ x =-6~~~\mathbf{ou}~~~x = 3$

Encontramos duas soluções para a incógnita $x$.

Porém, observe que uma delas é negativa. Como $x$ se trata de uma medida de uma figura plana, é necessário que a medida de seus lados seja maior que zero.

Neste caso, visto que a base menor mede $x + 2$ e ela é maior que zero apenas para valores que respeitam a desigualdade $x >-2$, assumimos somente a solução positiva:

A medida de $x$ que procurávamos era $x=3~\mathbf{m}$ e essa é a resposta contida na letra c).