Question

um projétil e lançado do solo numa direção que forma um ângulo com a horizontal sabe-se que ele atinge uma altura máxima de 15 m e que sua velocidade no ponte de altura máxima e 10 m/s determine sua velocidade inicial e o ângulo teta de lançamento adote g= 10 m/s²

Answer 1

Vamos dividir o movimento do projétil em dois:

➀ Vertical - Movimento Uniformemente Variado

➁ Horizontal - Movimento Uniforme

➤ Para o movimento vertical temos a Função Horária da Velocidade:

$v_{y} = v_{0y} + gt$

Consideraremos a gravidade negativa (g = -10m/s²)

Quando um projétil chega em seu ponto mais alto ele pára e começa a descer, ou seja, a sua velocidade em direção ao solo é nula (v = 0m/s)

$0 = v_{0y} - 10t$

$\framebox[1.1\width]{v_{0y} = 10t \par}$

Passemos a Função Horária do Espaço:

$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac{g}{2} t^2$

Substituiremos $v_{0y}$ pelo valor encontrado na Função Horária da Velocidade:

$15 = 0 + 10t\times t + \frac{(-10)}{2} t^2$

$15 = 10t^{2} -5t^{2}$

$15 = 5t^{2}$

$t^{2} = 3$

$\framebox[1.1\width]{t = 1,73 s\par}$

Substituindo t na Função Horária da Velocidade:

$v = v_{0y} + gt$

$0 = v_{0y} - 10\times 1,73$

$\framebox[1.1\width]{v_{0y} = 17,3 m/s\par}$

Quando o projétil foi lançado ele possuía uma velocidade v que decompomos em duas velocidade distintas $v_{0x}$ e $v_{0y}$

A velocidade $v_{0x}$ é sempre constante, do início ao fim do trajeto, ou seja, se o exercício diz que no ponto mais alto, quando $v_{0y} = 0m/s$ , que a velocidade (v) é igual a 10m/s, isto é, $v_{0x}$ é igual a 10m/s, pois $v = v_{0y} + v_{0x} \rightarrow v = 0 + v_{0x} \rightarrow v = v_{0x}$. Durante todo o trajeto $v_{0x}$ é igual a 10m/s.

$v_{0x} = v_{x} = 10m/s$

Sabemos que:

$v = \frac{v_{x}}{cos\theta}$

$v = \frac{10}{cos\theta}$

$v = \frac{v_{0y}}{sen\theta}$

$v =\frac{17,3}{sen\theta}$

Igualando as equações:

$\frac{10}{cos\theta} = \frac{17,3}{sen\theta}$

$\frac{sen\theta}{cos\theta} = \frac{17,3}{10}$

Da trigonometria sabemos que $tg\theta = \frac{sen\theta}{cos\theta}$ , logo:

$tg\theta = \frac{17,3}{10}$

$\framebox[1.1\width]{tg\theta = 1,73\par}$

Consultando uma tabela trigonométrica encontraremos que:

$\framebox[1.1\width]{\theta = 60^{\circ}\par}$

Para descobrir a velocidade inicial:

$v = \frac{10}{cos60^{\circ}}$

$v =\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{1}\times \frac{2}{1}$

$\framebox[1.1\width]{v = 20m/s\par}$