Question

Um polinômio P, dividido por x - 1 e x + 3, dá restos - 2 e 1, respectivamente. Então, o resto da divisão de P por (x - 1)(x + 3) é:
-------
a) 3/4 x + 5/4
b) - 3/4x +5/4
c) 3/4 x -5/4
d) - 3/4 x -5/4
e) 3/4 x -5/2

Answer 1

$\sf P(x)=Q(x)(x-1)(x+3)+R(x)$

O resto será, pelo menos, um grau abaixo do grau do divisor.

Divisor : (x-1)(x+3) = x²-2x-3 tem grau dois, logo o resto será de grau um.

Então :

$\displaystyle \sf P(x)=Q(x)(x-1)(x+3)+ax+b \\\\ P(1) = Q(1) (1-1)(1-3)+a+b \\\\ P(1) = 0 + a+b \\\\ a+b =-2 \\\\\\ P(-3)=Q(-3)(-3-1)(-3+3) +a(-3)+b \\\\ P(-3) = 0-3a+b \\\\ -3a+b = 1 \\\\\\ Temos : \\\\ -3a+b=1 \\\\ a+b=-2 \to b = -2-a \\\\ -3a+(-2-a) = 1 \\\\ -3-a-2=1\\\\ -4a=3 \\\\ \boxed{\sf a = \frac{-3}{4}}\\\\\\ b =-2-\left(\frac{-3}{4}\right) \\\\ b=-2+\frac{3}{4} \\\\ b = \frac{-8+3}{4} \\\\ \boxed{\sf b=\frac{-5}{4}}$

Portanto o resto da divisão por (x-1)(x+3) é

$\displaystyle \boxed{\sf \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot x-\frac{5}{4} \ }\checkmark$

letra d