Question

Um observador, situado num ponto A, enxerga uma montanha segundo um ângulo x. Caminhando 400m em direção à montanha, ele passa a enxergá-la segundo um ângulo y. Desprezando a altura do observador, calcule a altura da montanha, sabendo que tgx = 1/2 e tgy = 5/6

Answer 1

Esse é um famoso problema matemático apelidado de "Problema das tangentes"... Sempre que ver exercícios neste modelo você pode seguir os passos escritos ai em cima.

Espero ter ajudado, bons estudos!!! ;-)

Answer 2

A altura da montanha é 500 metros.

No ponto A, o observador está a uma distância D em metros da montanha.

A montanha tem H de altura.

O angulo formado é $\alpha$ e sua tangente é $Tg\alpha=\frac{1}{2}$

No ponto B, o observador está a uma distância D-400 em metros da montanha. (a distância total anterior menos 400 metros, Pois ele se aproximou 400 metros.)

A montanha tem H de altura.

O angulo formado é $\theta$ e sua tangente é $Tg\theta=\frac{5}{6}$

Para o ponto A e B, o observador e a montanha formam um triangulo retângulo. (Ver figura)

Sabemos que a tangente de um angulo é igual ao cateto oposto a ele sobre a Cateto adjacente.

$Tg= \frac{Cat.Op}{Cat. Adj}$

No ponto A (α):

cateto oposto: H

cateto adjacente: d

$Tg\alpha=\frac{H}{D}$

No ponto B (Ф):

cateto oposto: H

cateto adjacente: D-400

$Tg\theta=\frac{H}{D-400}$

Com essa relação igualaremos a informação que já temos com essa nova informação.

I)

$\frac{1}{2} = \frac{H}{D} \\H=\frac{D}{2}$

II)

$\frac{5}{6}=\frac{H}{D-400} \\ H=\frac{5d-2000}{6}$

I = II

$\frac{D}{2} =\frac{5D-2000}{6} \\6D=10D-4000\\4D=4000\\D=1000$

Porém queremos H, lembre que $H=\frac{D}{2} \\H=\frac{1000}{2}=500mt$