Question

Um número é dito palíndromo se sua leitura da direita para a esquerda for igual à da esquerda para a direita. Por exemplo, os números 23 432 e 18 781 são palíndromos.

Quantos números palíndromos de quatro algarismos são divisíveis por 9?

Answer 1

Um número palíndromo de quatro algarismos é da forma $abba$, onde $a$ é um algarismo entre $1$ e $9$ e $b$ é um algarismo entre $0$ e $9$. 

Como o número é divisível por $9$, então a soma $2a+2b=2(a+b)$ de seus algarismos é divisível por $9$, ou seja, $a+b$ é divisível por $9$. 

Como $1\le a+b\le18$, as únicas opções são $a+b=9$ ou $a+b=18$. Se $a+b=18$, necessariamente $a=b=9$. 

Se $a+b=9$, temos as nove soluções seguintes:

$(a, b)=(1, 8),(2,7),(3,6)$

$(a, b)=(4, 5),(5,4),(6,3)$

$(a, b)=(7, 2),(8,1),(9,0)$

Assim, existem dez números palíndromos de quatro algarismos divisíveis por $9$, a saber,

$1~881,2~772,3~663,4~554,5~445,6~336,7~227,8~118,9~009$ e $9~999$.