Question

Um numero de 3 algarismos é tal que sendo divisível por 15 e 9 não é divisível por 6. Se as cifras deste número formam um P.A, qual sera o resto, se dividirmos este número por 6?

Answer 1

Seja $n$ este número desconhecido e $a_{1}$, $a_{2}$ e $a_{3}$ os algarismos que formam este número. Como o nosso sistema de numeração é de base $10$, temos

$n=100a_{1}+10a_{2}+a_{3}$

$a_{1},\,a_{2},\,a_{3} \;\in\; \left\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right\}$


$\bullet\;\;$ Se $n$ é divisível por $15$ e por $9$, então $n$ é divisível por $\mathrm{m.m.c.}\left(15,\,9 \right )=45$;

$\bullet\;\;$ Se $n$ não é divisível por $6$, então $n$ não é divisível por $\mathrm{m.m.c}\left(45,\,6 \right )=90$.


Logo, podemos escrever o número $n$ é um múltiplo ímpar de $45$:

$n=45\cdot \left(2k+1 \right )\\ \\ n=90k+45\\ \\ n=90k+42+3\\ \\ n=6\cdot \left(15k+7 \right )+3$

para algum $k \in \mathbb{N}$ (conjunto dos números naturais).


Da última igualdade, percebemos que o resto da divisão de $n$ por $6$ é igual a $3$.

Note que não foi necessário usar o fato de o número $n$ possuir $3$ algarismos, nem o fato de estes algarismos estarem em P.A.