Question

Um líquido de densidade 900 kg/m3 circula por um tubo horizontal de 10cm de diâmetro com uma velocidade de 2 m/s. Esse mesmo tubo sofre uma redução em seu diâmetro em outro ponto no valor de 8 cm de diâmetro onde a pressão vale 1,2 N/cm2.
a) Qual a velocidade do líquido na tubulação de menor diâmetro? RESP 3,2m/s
b) Qual a pressão na tubulação de diâmetro maior? RESP 14700 N/m2

Answer 1

Olá.

Inicialmente, vamos desconsiderar as perdas para esse problema. Convenhamos o índice 1 para a tubulação de diâmetro maior e 2 para a de diâmetro menor. Indicarei as pressões por p e velocidades por c.

Se não há perdas, analisamos uma linha de corrente. Podemos usar a equação de Bernoulli.

$p_1+\dfrac{\rho c_1^2}{2}=p_2+\dfrac{\rho c_2^2}{2}~~~~~~~$                 (i)

Veja que temos uma equação e duas incógnitas($c_2$ e $p_1$), falta uma equação, que é justamente a conservação da massa:

$\dot{m}_1=\dot{m}_2$

Onde $\dot{m}$ é a vazão em massa(dada em kg/s). Como sabemos, a vazão mássica pode ser escrita como: $\dot{m}=\rho cA$, onde A é a área da seção. Temos então:

$\rho c_1 A_1 = \rho c_2 A_2\\ \\ c_1 A_1 = c_2 A_2\\ \\ c_1 \left(\pi \dfrac{D_1^2}{4}\right)=c_2 \left(\pi \dfrac{D_2^2}{4}\right)\\\\ \\ \\ \underline{c_1 D_1^2 = c_2 D_2^2 }$(ii)

Veja que nos deram $c_1$, $D_1$ e $D_2$, então podemos calcular $c_2$ com a equação (ii).

$2\cdot 10^2 =c_2 \cdor 8^2\\ \\ c_2 = 2\cdot \dfrac{100}{64}\\ \\ \boxed{c_2 = 3,125~m/s}$ ...... Resp. (a)

(Veja que usei os diâmetros em milímetros. Como as unidades de cancelam, não precisamos converter para metros)

Para a pressão, usamos a equação (i), pois agora temos a velocidade que faltava.

$p_1 +\dfrac{900\cdot 2^2 }{2}= \square + \dfrac{900\cdot 3,125^2}{2}$

Repare que não preenchi a pressão. Precisamos nos atentar as dimensões do problema. O termo $\dfrac{\rho c^2}{2}$ está com unidades do SI, resultando em Pa(que é o mesmo que N/m²), enquanto nossa pressão estática está em N/cm². Como $1 ~cm^2 =10^{-4} m^2$, segue que $1 ~N/cm^2 = 10^4 N/m^2 = 10^4 Pa$. Então, ao invés de colocarmos 1,2 N/cm², colocamos 12.000 Pa na equação!

$p_1+1800 = 12000+4395\\\\ p_1 = 14.595~Pa$...... resp (b)