Question

um disco circular limitado por x²+y²=1 Se T graus for a temperatura em qualquer ponto do disco e T(x,y)= 2x²+y² -y. quais os pontos mais quentes da borda?

Answer 1

Resposta:

Os pontos mais quentes do bordo do disco são  

(-√3 / 2,-1/2) e  (√3 / 2,-1/2)

Explicação passo-a-passo:

Uma maneira é usar multiplicadores de lagrange. Queremos achar  o máximo de T com a restrição f(x,y) = 0, onde f(x,y) = x² + y² - 1

Assim temos:

∇f = (2x,2y)

∇g = (4x, 2y-1)

Queremos achar pontos  da circunferência x² + y²=1 onde vale que ∇f = λ ∇g. Ou seja, rpecisamos resolver o sistema

2x = 4λx

2y = λ(2y-1)

x²+y² =1

Da primeira equação concluímos que λ = 1/2 ou x = 0

Se x = 0 devemos ter y = ±1  pela terceira equação.

Se λ = 1/2 na segunda equação temos

4y = 2y- 1

2y = -1

y = -1/2

E portanto x = ±√3 / 2

Com isso obtivemos 4 pontos: (0,-1), (0,1), (-√3 / 2,-1/2) e (√3 / 2, -1/2)

Um deles será o máximo de T. Testando cada um deles temos:

T(0,-1) = 2

T(0,1) = 0

T (-√3 / 2,-1/2) = 9/4

T( √3 / 2,-1/2) = 9/4

Assim, os pontos mais quentes do bordo do disco são  

(-√3 / 2,-1/2) e  (√3 / 2,-1/2)

Outra maneira:

Outra maneira que funciona nesse problema é isolar uma das variáveis em x²+y²=1 e substituir na expressão de T, "transformando" numa função de uma variável.

x²+y² = 1, portanto x² = 1 - y²

Observe que x e y são números do intervalo [-1,1]

Logo, temos

T = 2(1-y²) + y² - y = 2 - y² - y

Ou seja, o problema tornou-se encontrar o máximo da expressão acima com y no intervalo [-1,1]. Você pode derivar e igualar a zero ou usar as fórmulas para o vértice da parabola. De qualquer forma, o máximo de T ocorre para y  = -1/2. Assim, novamente obtemos os pontos (-√3 / 2,-1/2) e  (√3 / 2,-1/2)