Question

Um cone equilátero está inscrito em uma esfera de raio 4 cm. Cortam-se os sólidos (esfera e cone) por um plano paralelo à base, de modo que a diferença entre as áreas das secções seja igual à área da base do cone. O raio da secção do cone é:

a) 2√3
b) √3
c) √3/3
d) 4√3/3
e) n.d.a.
N tenho o gabarito . Queria saber a resolução.

Answer 1

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Observe a figura em anexo.

Temos um cone equilátero ABV inscrito a uma esfera.

Observe que para este problema, a princípio tudo funciona como se tivéssemos apenas um triângulo equilátero ABV inscrito a uma circunferência.

•   raio da esfera/circunferência:  $\mathsf{R=4~cm};$

•   raio da base do cone ABV:

$\mathsf{r=R\cdot cos\,30^\circ}\\\\ \mathsf{r=4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=2\sqrt{3}~cm\qquad\quad\checkmark}$


•   apótema do triângulo ABV:

$\mathsf{a=R\cdot sen\,30^\circ}\\\\ \mathsf{a=4\cdot \dfrac{1}{2}}\\\\ \mathsf{a=2~cm\qquad\quad\checkmark}$


•    altura $\mathsf{H}$ do cone ABV:

Aplicando relações trigonométricas ao triângulo retângulo AMV, temos que

$\mathsf{\dfrac{H}{r}=tg\,60^\circ}\\\\\\ \mathsf{H=r\cdot tg\,60^\circ}\\\\ \mathsf{H=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\\\\ \mathsf{H=6~cm\qquad\quad\checkmark}$

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•   distância do centro da esfera até o plano que secciona a esfera e o cone:  $\mathsf{d};$

•   altura do cone VCD, que também é equilátero:   $\mathsf{h}.$

•   raio da base do cone VCD, que é pedido na tarefa:   $\mathsf{x};$

•   raio da circunferência obtida pela seção do plano com a esfera:   $\mathsf{y}.$

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De acordo com o enunciado, a diferença entre as áreas das seções é igual à área da base do cone maior. Logo, devemos ter

$\mathsf{\pi y^2-\pi x^2=\pi r^2}\\\\ \mathsf{\pi(y^2-x^2)=\pi\cdot (2\sqrt{3})^2}\\\\ \mathsf{y^2-x^2=12}\\\\ \mathsf{y^2=12+x^2\qquad\quad(i)}$


Aplicando relações trigonométricas ao triângulo retângulo VND, temos que

$\mathsf{\dfrac{h}{x}=tg\,60^\circ}\\\\\\ \mathsf{h=x\cdot tg\,60^\circ}\\\\ \mathsf{h=x\sqrt{3}\qquad\quad(ii)}$


Somando as três seções do segmento $\mathsf{\overline{VM}},$ obtemos o seu comprimento total:

$\mathsf{H=h+d+a}\\\\ \mathsf{6=h+d+2}\\\\ \mathsf{h+d=6-2}\\\\ \mathsf{h+d=4}$

$\mathsf{d=4-h}\\\\ \mathsf{d=4-x\sqrt{3}\qquad\quad(iii)}$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ONQ, devemos ter

$\mathsf{d^2+y^2=4^2}\\\\ \mathsf{(4-x\sqrt{3})^2+(12+x^2)=4^2}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!\!\! 16-8x\sqrt{3}+3x^2+12+x^2=\diagup\!\!\!\!\!\! 16}\\\\ \mathsf{4x^2-8x\sqrt{3}+12=0}\\\\ \mathsf{4\cdot (x^2-2x\sqrt{3}+3)=0}$

$\mathsf{x^2-2x\sqrt{3}+3=0}\\\\ \mathsf{x^2-2x\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=0}\\\\ \mathsf{x^2-x\sqrt{3}-x\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=0}\\\\ \mathsf{x(x-\sqrt{3})-\sqrt{3}(x-\sqrt{3})=0}\\\\ \mathsf{(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0}$

$\mathsf{(x-\sqrt{3})^2=0}\\\\ \mathsf{x-\sqrt{3}=0}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=\sqrt{3}~cm} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Resposta:   alternativa b) √3.


Bons estudos! :-)


Tags:   desafio cone equilátero inscrito esfera triângulo circunferência geometria espacial