Question

Um cone com raio da base 4m e altura 3m será construída com um metal de custo R$ 7,50/m². Qual será o custo desse cone?​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o custo total do cone é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C_{c} = R\ \,847,80\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} r = 4\,\textrm{m}\\h = 3\,\textrm{m}\\C_{m} = R\ \,7,50/\textrm{m}^{2}\end{cases}$

Sabemos que  custo total do cone "Cc" é igual ao produto entre o custo do metal por m² e a área total do cone "At", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{c} = C_{m}\cdot A_{t}\end{gathered}$

Sabendo que a área total do cone é a soma da área lateral "Al" com a área da base "Ab", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{t} = A_{l} + A_{b}\end{gathered}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                  $\Large\begin{cases} A_{l} = \pi r g\\A_{b} = \pi r^{2}\end{cases}$

Substituindo "III" em "II", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{t} = \pi r g + \pi r^{2} = \pi r(g + r)\end{gathered}$          

Substituindo "IV" em "I", chegamos à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{c} = C_{m}\pi r(g + r)\end{gathered}$

Aplicando o teorema de Pitágoras à metade da secção meridiana do cone obtemos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} g^{2} = h^{2} + r^{2}\end{gathered}$

Então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf VI\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} g = \sqrt{h^{2} + r^{2}}\end{gathered} }$

Desta forma, chegamos à seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf VII\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C_{c} = C_{m}\pi r(\sqrt{h^{2} + r^{2}} + r)\end{gathered} }$

Sabendo que π = 3,14 e substituindo os valores na equação "VII", temos:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C_{c} = 7,5\cdot3,14\cdot4\cdot(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} + 4)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 94,2\cdot(\sqrt{9 + 16} + 4)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 94,2\cdot(\sqrt{25}+ 4)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 94,2\cdot(5 + 4)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 94,2\cdot9\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 847,8\end{gathered}$

✅ Portanto, o custo do cone é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} C_{c} = R\ \,847,80\end{gathered} }$

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