Question

Um colégio organizou um campeonato de vólei, com participação de 5 equipes (A,B,C,D,E). Rafael e patrícia discutem sobre aquelas que deverão ficar nas 3 primeiras posições. Rafael esta interessado apenas em adivinhar quais serão essa equipes independente da posição de cada uma. patrícia vai mais longe. ela quer adivinhar quais serão o primeiro, o segundo e o terceiro colocados . os dois amigos resolveram calcular quantas eram as possibilidades, em cada caso.

a) qual foi o total obtido por patrícia?
b) represente todas as possibilidades encontradas por Rafael. quantas são elas?
c)porque total obtido por patrícia e maior que o obtido por Rafael?qual e a logica dessa relação
d) quanta vezes o total obtido por patrícia e maior que o obtido por Rafael? e qual e a logica dessa relação?

Answer 1

Combinação: a ordem não importa (Rafael quer saber só quem são os três primeiros)

n = equipes
p = equipes ganhadoras 

$C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} =\ \textgreater \ C_{5,3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} \\ \\ C_{5,3} = \frac{5.4.3!}{3!.2!} =\ \textgreater \ \frac{5.4}{2.1} = \frac{20}{2} = 10$

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Arranjo: a ordem importa (Patrícia quer saber quem vai ser o primeiro, o segundo e o terceiro)

$A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!} =\ \textgreater \ A_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} \\ \\ A_{5,3} = \frac{5!}{2!}=\ \textgreater \ A_{5,3} = \frac{5.4.3.2!}{2!} = 5.4.3 = 60$

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Quando a ordem importa (Patrícia) tem mais possibilidades porque quando você troca a sequência, surge uma possibilidade diferente, por exemplo:

1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1

Já na combinação a ordem não importa, então todos os grupos ali de cima formam uma única possibilidade, um único grupo de ganhadores.

Ps. pra cada possibilidade de combinação, tem seis de arranjo. Por isso o número de possibilidades de Patrícia são 6x maiores que as de Rafael :D