Question

Um capital é investido a taxa de juros compostos de 20% ao ano. Quantos anos são necessários, no mínimo, para que o montante (capital mais juros) seja maior que o dobro do capital inicial?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Reh, que a resolução é simples.
Note que montante, em juros compostos, é dado por;

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula acima:

M = 2C ---- como queremos o tempo, no mínimo, para que o capital dobre, então o montante terá que ser, no mínimo, igual a 2 vezes o capital.
i = 0,20 ao ano ---- (veja que 20% = 20/100 = 0,20)
n = n ---- (é o que vamos encontrar).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do montante acima, teremos:

2C = C*(1+0,20)ⁿ ------ desenvolvendo, teremos:
2C = C*(1,20)ⁿ ---- dividindo-se ambos os membros por "C", ficaremos apenas com:

2 = (1,20)ⁿ ---- vamos apenas inverter, com o que ficaremos:
(1,20)ⁿ = 2 ---- vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log (1,20)ⁿ = log (2) ---- passando o "n" multiplicando, teremos;
n*log (1,20) = log (2)

Agora veja que:

log (1,20) = 0,07918 (aproximadamente)
log (2) = 0,30103 (aproximadamente)

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

n*0,07918 = 0,30103 ---- isolando "n", teremos;
n = 0,30103/0,07918 ---- veja que esta divisão dá "3,8" (bem aproximado). Logo:

n = 3,8 anos <--- Esta é a resposta. Este é o tempo em que um capital dobrará, a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano. Ou seja, com exatos "3,8" anos ele dobrará. A partir daí ele passará a ser superior ao capital inicial aplicado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Vamos supor que o capital seja 1.000

1.000 × 2 = 2.000  

Formula :  n = ㏒ ( m ÷ c) ÷ ㏒ ( 1 + i)

c = 1.000
M =   2.000
i = 20% ao ano ⇒ 20/100 ⇒ 0,2

N = ㏒ ( 2.000  ÷ 1.000) ÷  ㏒( 1 + 0,2)
N =  ㏒ (2)   ÷  ㏒ (1,2)
N = 0,30102999566 ÷ 0,07918124604
N = 3,80 

Como o enunciado pede no minimo para o montante ser maior que o dobro do capital

Logo tem que ser > 2.000

ou seja  :   Resposta:  N= >3,80 anos