Question

(UFPR) Seja C1 o círculo de raio = 2 e centro no ponto = (3,4 ).

a) Qual é a equação do círculo C1?

b) Considere o círculo C2 definido pela equação x² + y² = p²
. Para quais valores de ''p'' o círculo 1 intersecta o círculo 2?

Answer 1

Observe as três imagens em anexo.

a) A equação da circunferência é dada por:
(x - xc)² + (y - yc)² = r²


Como para C1 o centro é o ponto (3,4) e o raio é 2, então a equação é:

(x - 3)² + (y - 4)² = 2²
(x - 3)² + (y - 4)² = 4 (Equação reduzida)


A equação geral é:

(x - 3)² + (y - 4)² = 4
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 4
x² + y² - 6x - 8y + 9 + 16 - 4 = 0
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0


b) Observe as três imagens em anexo.

A equação x² + y² = p² representa uma circunferência de centro na origem, ou seja, no ponto (0,0) e que possui raio p.

Para sabermos quais valores valores do raio p a circunferência C1 intersecta a circunferência C2, vamos calcular a distância entre os centros das duas circunferências.

Como o centro da circunferência C2 é a origem, podemos calcular diretamente a distância com o Teorema de Pitágoras:

a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
a = 5

Como sabemos que a distância entre os centros das circunferências é 5, o raio de C1 é 2 e seu diâmetro é 4, podemos concluir que:

Quando subtraímos 5 - 2 = 3, temos o valor de p = 3, ou seja, o raio de C2 que faz com que as duas circunferências se intersectem num único ponto. Esse é o tamanho mínimo do raio de C2 para que elas se intersectem num único ponto. (Observe a imagem 1).

Quando somamos 3 + 4 = 7, temos o valor de p = 7, ou seja, o raio de C2 que faz com que as duas circunferências se intersectem em outro ponto, também num ponto único. Esse é o tamanho máximo do raio de C2 para que elas se intersectem em outro ponto único. (Observe a imagem 2)

Quando o raio de C2 for maior que 3 e menor que 7, então as duas circunferências sempre se intersectarão em dois pontos. (Observe a imagem 3)

Resumindo, concluímos que os valores do raio p, que fazem as duas circunferências se intersectarem estão no intervalo [3,7], ou seja, 3 ≤ p ≤ 7.

S = {p ∈ R | 3 ≤ p ≤ 7}.