(UEG-GO – Adaptada) Dadas as matrizes (Em anexo)
os valores de x, y e z são, respectivamente:
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Cardoso, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para encontrar os valores de "x", "y" e "z", sabendo-se que:
........|5......1.......2|
A = |1......-2......2|
.......|1.....-4........1|
.......|x|
B = |y|
.......|z|
e
...........|1|
AB = |3|
.........|8|
ii) Agora veja: vamos efetuar o produto da matriz A pela matriz B e vamos igualar à matriz AB, da forma que está escrito aí em cima. Assim, teremos:
|5.....1.....2|*|x| = |1|
|1....-2.....2|*|y| = |3| ---- efetuando o produto indicado teremos:
|1.....-4.....1|*z| = |8|
|5x + 1y + 2z| = |1|
|1x+(-2)y+2z| = |3| -------- desenvolvendo, ficaremos com o seguinte sistema:
|1x+(-4)y + 1z| = |8|
{5x + y + 2z = 1 . (I)
{x - 2y + 2z = 3 . (II)
{x - 4y + z = 8 . (III)
iii) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Fazendo isso, teremos:
5x + y + 2z = 1 ---- [esta é a expressão (I) normal]
-x + 2y - 2z = -3 ---[esta é a expressão (II) multiplicada por "-1"]
----------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
4x + 3y + 0 = - 2 ----- ou apenas:
4x + 3y = - 2 . (IV)
Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Fazendo isso, teremos:
5x + y + 2z = 1 ----- [esta é a expressão (I) normal]
-2x+8y-2z = -16 --- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]
----------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
3x + 9y + 0 = -15 ---- ou apenas:
3x + 9y = - 15 . (V)
iv) Agora vamos trabalhar com as expressões (IV) e (V), que são estas:
{4x + 3y = - 2 . (IV)
{3x + 9y = - 15 . (V)
Veja: iremos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-3" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Fazendo isso, teremos:
-12x - 9y = 6 ----- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-3"]
3x + 9y = -15 ---- [esta é a expressão (V) normal]
---------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
-9x + 0 = - 9 ---- ou apenas:
-9x = -9 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
9x = 9 ---- isolando "x", temos:
x = 9/9
x = 1 <--- Este é o valor da incógnita "x".
Agora, para encontrar o valor da incógnita "y", vamos em quaisquer uma das duas últimas expressões [ou na (IV) ou na (V)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "1". Vamos na expressão (IV), que é esta:
4x + 3y = - 2 ---- substituindo-se "x" por "1", teremos:
4*1 + 3y = - 2 ----- desenvolvendo, temos:
4 + 3y = - 2 --- passando "4" para o 2º membro, temos:
3y = - 2 - 4
3y = - 6
y = -6/3
y = -2 <--- Este é o valor da incógnita "y".
Finalmente, para encontrar o valor da incógnita "z" vamos em quaisquer uma das três primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "x" por "1" e o valor de "y" por "-2". Vamos na expressão (I), que é esta:
5x + y + 2z = 1 ----- substituindo-se "x" por "1" e "y" por "-2", teremos:
5*1 + (-2) + 2z = 1 ----- desenvolvendo, teremos:
5 - 2 + 2z = 1 ----- continuando o desenvolvimento, temos:
3 + 2z = 1 ---- passando "3" para o 2º membro, temos:
2z = 1 - 3
2z = - 2
z = -2/2
z = - 1 <--- Este é o valor da incógnita "z".
v) Assim, resumindo, temos que os valores de "x", "y" e "z" são, respectivamente:
x = 1; y = -2; z = -1 <--- Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.