Question

Teoria dos números. Critério de divisibilidade.

Seja a um algarismo e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n

     n = 10b + a

(a é o algarismo das unidades de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).


Nessas condições, justifique a proposição

     b − 5a é divisível por 17 se, e somente se, n é divisível por 17.

Answer 1

Lukyo, boa noite. Poderia dizer se minha resolução está correta?

Ida - Se $b - 5a = 17q$, multiplicando por 10 ambos os lados da equação tem-se: 
$10b - 50a = 170q$ 

$10b - 51a + a = 17q$

$n - 51a = 17q$

$n = 17(10q + 3a) = 17q'$

Volta - Se $n = 17q'$ então $17q' = 10b + a$. Multiplicando ambos os lados por 5 tem-se:

$85q' = 50b + 5a$

$(85q' - 51b) + (b - 5a) = 0$

$17(5q' - 3b)(-1) = b - 5a$

$17q = b - 5a$

C.Q.D

Answer 2

Olá Lukyo.


Provando a ida:

Se b - 5a é divisível por 17, então 17 divide n.

Se 17 | b - 5a, temos que:

17 | b - 5a

17 | 10 . (b - 5a)

17 | 10b - 50a

17 | 10b + a - 51a

17 | n - 51a

Note que 17 divide 51a, então como 17 divide uma parcela, ele tem que dividir a outra. Logo, 17 divide n.

17 | n

Como queriamos provar.

Provando a volta.

Se 17 divide n, então 17 divide b - 5a.

Temos que:

17 | 10b + a

17 | - 5 . (10b + a)

17 | - 50b - 5a

17 | - 50b - 5a + 17 . 3 . b

17 | - 50b - 5a + 51b

17 | b - 5a


Portanto se 17 divide n, então 17 divide b - 5a como queríamos provar!


Portanto. 17 divide n, se, e somente se, 17 divide b - 5a.

Dúvidas? comente.