Question

Suponha que os números a1, a2, a3, a4, a5, 6 formam uma progressão geométrica e que a1 + a3 + a5 = 7 e a2 + a4 + a6 = 14. Então a1 é igual a:

a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1
e) 2

Answer 1

Resposta:

b)

Explicação passo-a-passo:

Sendo $a_1$ e $q$ o 1º termo e a razão da PG, respectivamente, sabe-se que $a_n=a_1q^{n-1}$, logo:

$a_1+a_3+a_5=7$

$a_1+a_1q^2+a_1q^4=7$

$a_1(1+q^2+q^4)=7$

$a_1=\frac{7}{1+q^2+q^4}$

Da mesma forma:

$a_1q+a_1q^3+a_1q^5=14$

$a_1(q+q^3+q^5)=14$

$a_1=\frac{14}{q+q^3+q^5}$

Daí tiramos que:

$\frac{7}{1+q^2+q^4}=\frac{14}{q+q^3+q^5}$

$\frac{1}{1+q^2+q^4}=\frac{2}{q+q^3+q^5}$

$q^5+q^3+q=2q^4+2q^2+2$

$q^5+q^3+q-2q^4-2q^2-2=0$

$q(q^4+q^2+1)-2(q^4+q^2+1)=0$

$(q^4+q^2+1)(q-2)=0$

Como $q^4+q^2+1=0$ não possui soluções reais, desconsideramos este caso. Dessa forma, a única possibilidade é que $q-2=0\therefore q=2$, concluindo assim que:

$a_1=\frac{7}{2^4+2^2+1}$

$a_1=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$