Question

Seja V = R3 e o produto interno não usual, definido por:

(x1, y1, z1). (x2,y2,z2) = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2. Determinar um vetor unitário, que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1, 2, 1) e v = (1, 1, 1).

Answer 1

Olá,
  Existem mais de uma forma de conseguir ortogonalizar vetores, uma forma de fazer isso é usando o processo de Gram-Schmidt. Porém este método é bem demorado quando os vetores se encontram em R3, como o caso.
   Porém, existe outra ,maneira de se achar vetores ortogonais em R3, usando o chamado produto vetorial.
   Lembrando que só existe produto vetorial em R3, essa operação não tem sentido em R2.

   Fazendo o produto vetorial entre dois vetores, acharemos um terceiro ortogonal aos dois.

   Vejamos.

$ProdutoVetorialUV = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&1\\1&1&1\end{array}\right] \\ \\ (2i+k+j)-(j+2k+i) \\ \\ i+0j-k$

Como os vetores canônicos são i,j,k respectivamente (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Fazendo a multiplicação escalar, acharemos o vetor (1,0,-1).

Se quiser testar no algum software, verá que realmente este é ortogonal.

   Importantíssimo notar que usando o produtor vetorial, não precisamos usar o produto interno, portanto não precisamos seguir neste método, as regras impostas. Provavelmente o exercício quer que você ache por Gram-Schmidt, porém, como não especificou, usei o produto vetorial por ser mais prático.

   Para achar o vetor unitário, basta achar o módulo do vetor, e dividi-lo por todas suas coordenadas.   Vejamos.

$| \beta | = \sqrt{1^{2}+0^{2}+-1^{2}} = \sqrt{2} \\ \\ VetUnit \beta = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } , 0, -\frac{1}{ \sqrt{2}})$


Espero ter ajudado, qualquer dúvida estou aqui.