Question

Seja um plano definido pela função z = x + 2y, em relação a essa função pede-se: a) Sua interseção com o plano xz; b) Sua interseção com o plano yz; c) Qual superfície o gráfico dessa função gerará; d) Determine o valor da integral.
$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {(x+2y)} \, dxdy$

Answer 1

As interseções serão z = x e z = 2y, o gráfico é um plano infinito e a integral resulta em 5,5.

A) A interseção será z = x

A interseção com o plano xz ocorre para y = 0, logo a equação da reta que definirá a sua interseção será z = x + 2y = x + 2*0 = x.

B) A interseção será z = 2y

A interseção com o plano yz ocorre para x = 0, logo a equação da reta que definirá a sua interseção será z = x + 2y = 0 + 2*y = 2y.

C) A superfície será um plano infinito.

O gráfico dessa função gera uma superfície do tipo plano infinito, conforme a figura abaixo.

D) O valor da integral será de 5,5.

Resolvendo a integral, lembrando que a integrais internas são resolvidas primeiramente:$\int\limits^2_1\int\limits^3_2 {(x+2y)} \, dx \, dy= \int\limits^2_1 {[x^2/2+2yx]} \ \, dy = \int\limits^2_1 {[(9/2-4/2)+(2.y.3 - 2.y.2)]} \ \, dy$$\int\limits^2_1 {2.y + 5/2} \ \, dy = [y^2+5/2y] = (4-1) +(10/2 - 5/2) = 3+5/2 =5,5$

Bons estudos!