Question

Seja S(x, y, z) =(x² + y² + z²)³/², ache (a) ∇S no ponto (1, 2, 3); (b) o módulo do gradiente de S, |∇S| em (1, 2, 3); e (c) os co-senos diretores de ∇S em (1, 2, 3).

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos cada uma das alternativas a seguir, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função de três variáveis $S(x,~y,~z)=(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$.

a) Ache o gradiente $\overrightarrow{\nabla} S$ no ponto $(1,~2,~3)$

Lembre-se que dada uma função de três variáveis, seu gradiente é dado pelas derivadas parciais de primeira ordem desta função em respeito a cada uma das variáveis, isto é:

$\overrightarrow{\nabla} f(x,~y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)$

Assim, devemos calcular as derivadas parciais de $S$.

Primeiro, calculemos $\dfrac{\partial S}{\partial x}$

$\dfrac{\partial S}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$

Aplique a regra da cadeia e da potência: $[f(g(x))]'=g'(x)\cdot f'(g(x))$ e  $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

$\dfrac{\partial S}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}-1}$

Some os valores no expoente e aplique a regra da soma: $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$.

$\dfrac{\partial S}{\partial x}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}x^2+\dfrac{\partial}{\partial x}y^2+\dfrac{\partial}{\partial x}z^2\right)\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}$

Sabendo que ao calcularmos a derivada parcial de uma função em respeito à variável $x$, tratamos as outras variáveis como constantes, lembre-se que a derivada de uma constante é igual a zero, logo

$\dfrac{\partial S}{\partial x}=2x\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}$

Veja que o processo é idêntico ao calcularmos a derivada parcial da função em relação as outras variáveis, logo

$\dfrac{\partial S}{\partial y}=2y\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}\\\\\\\ \dfrac{\partial S}{\partial z}=2z\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}$

Sabendo que $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, temos o gradiente da função

$\overrightarrow{\nabla} S=(2x\sqrt{x^2+y^2+z^2},~2y\sqrt{x^2+y^2+z^2},~2z\sqrt{x^2+y^2+z^2})$

Assim, o valor do gradiente desta função em $(1, ~2,~3)$ é dado por:

$\overrightarrow{\nabla} S~(1,~2,~3)=(2\cdot1\sqrt{1^2+2^2+3^2},~2\cdot2\sqrt{1^2+2^2+3^2},~2\cdot3\sqrt{1^2+2^2+3^2})\\\\\\\\ \overrightarrow{\nabla} S~(1,~2,~3)=(2\sqrt{14},~4\sqrt{14},~6\sqrt{14})$

b)  O módulo do gradiente em $(1,~2,~3)$.

Dado um vetor $\overrightarrow{v}=\left<a,~b,~c\right>$, seu módulo é dado por: $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Dessa forma, utilizando o resultado que encontramos anteriormente, temos

$|\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=\sqrt{(2\sqrt{14})^2+(4\sqrt{14})^2+(6\sqrt{14})^2}$

Calcule as potências

$|\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=\sqrt{4\cdot14+16\cdot14+36\cdot14}$

Fatore a expressão e calcule o radical

$|\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=\sqrt{14\cdot(4+16+36)}\\\\\\ |\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=\sqrt{14\cdot56}\\\\\\\ |\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=\sqrt{784}\\\\\\ |\overrightarrow{\nabla} S|~(1,~2,~3)=28$

c)  Os cossenos diretores do gradiente em $(1,~2,~3)$.

Ainda considerando um vetor $\overrightarrow{v}=\left<a,~b,~c\right>$, seus cossenos diretores são dados por:

$\cos(\alpha)=\dfrac{a}{|\overrightarrow{v}|},~ \cos(\beta)=\dfrac{b}{|\overrightarrow{v}|}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{c}{|\overrightarrow{v}|}$

Assim, utilizando o resultado que encontramos anteriormente, temos

$\cos(\alpha)=\dfrac{2\sqrt{14}}{28},~ \cos(\beta)=\dfrac{4\sqrt{14}}{28}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{6\sqrt{14}}{28}$

Simplifique as frações por um fator $2$

$\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{14}}{14},~ \cos(\beta)=\dfrac{2\sqrt{14}}{14}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$

Veja que ao multiplicarmos as frações por $\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$,  teremos

$\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{14}}{14}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}},~ \cos(\beta)=\dfrac{2\sqrt{14}}{14}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

$\cos(\alpha)=\dfrac{14}{14\sqrt{14}},~ \cos(\beta)=\dfrac{28}{14\sqrt{14}}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{42}{14\sqrt{14}}$

Simplifique as frações

$\cos(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{14}},~ \cos(\beta)=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ e $\cos(\gamma)=\dfrac{3}{\sqrt{14}}$.