Question

Seja R(x)= ax2 + bx + c uma função quadrática. Sabendo que R(−4)= −20, R(1/2)= 7/4 e R(5)= -17
as raízes dessa função são: ?

Answer 1

Com os 3 valores que temos, podemos fazer um sistema de equações para descobrir a, b, c e, portanto, determinando R(x). Assim, igualaremos R(x) = 0 para achar os zeros.

Vamos armar o sistema, substituindo cada valor de x para qual sabemos R(x) em ax² + bx + c:

$x = -4$:

$R(-4) = a(-4)^2 + b(-4) + c = -20$

$16a - 4b + c = -20$ (equação 1)

$x = 1/2$:

$R(1/2) = a(1/2)^2 + b(1/2) + c = 7/4$

$a/4 + b/2 + c = 7/4$ (equação 2)

$x = 5$:

$R(5) = a(5)^2 + b(5) + c = -17$

$25a + 5b + c = -17$ (equação 3)

Agora que temos as 3 equações, você pode usar seu método preferido para resolver o sistema, por exemplo, substituição. As contas serão omitidas, para que a resposta não fique desnecessariamente longa, mas você pode verificar que a solução é $a = -1$, $b = 4/3$ e $c = 4/3$. Logo, temos

$R(x) = -x^2 + 4x/3 + 4/3$

Vamos achar os zeros:

$-x^2 + 4x/3 + 4/3 = 0$

Usaremos a fórmula quadrática. Primeiro, o delta:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = (4/3)^2 - 4(-1)(4/3)$

$\Delta = 16/9 + 16/3 = 64/9$

Logo,

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}$

$x_1 = \frac{-4/3 + 8/3}{2(-1)}$

$x_1 = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}$

$x_2 = \frac{-4/3 - 8/3}{2(-1)}$

$x_2 = 2$

Logo, os zeros de R(x) são x = -2/3 e x = 2.