Question

Seja o triângulo de vértices A (4,−1,−2),B(2,5,−6)eC(1,−1,−1),calcular o comprimento da medida do triângulo relativa ao lado AB.

Answer 1

Resposta:

Seja o triângulo de vértices A(4,-1,-2), B(2,5,-6) e C(1,-1,2). Calcular o comprimento da mediana do triangulo relativa ao lado AB

Explicação passo-a-passo:

Dados dois pontos P e Q em um espaço tridimensional, temos que a medida do segmento PQ é igual a raiz{(x_p-x_q )^2+(y_p-y_q )^2 (z_p-z_q )^2 )}

Assim,

Medida do segmento AB é igual a raiz{(4-2)^2+(-1-5)^2+(-2+6)^2}=raiz56.

Medida do segmento AC é igual a raiz{(4-1)^2+(-1+1)^2+(-2+2)^2}=3.

Medida do segmento BC é igual a raiz{(2-1)^2+(5+1)^2+(-6+2)^2}=raiz53.

Segundo o Teorema de Stewart:

m=raiz{(2. a^2+2. b^2-c^2)/4}

Sendo m a medida da mediana referente ao lado c\equiv AB.

Logo,

a=raiz56

b=3

c=raiz53

m=raiz{[2. (raiz56)^2+2. (3)^2-(raiz53)^2]/4}=raiz{77/2}

A mediana de um triângulo é um segmento que une um de seus vértices ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Nesse caso o vértice é o C e o lado oposto é o lado AB.

Por isso então, primeiro vamos encontrar o ponto médio entre A e B através da fórmula:

M = ((xA+xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2)

M = ((4 + 2)/2, (-1 + 5)/2, (-2 + (-6))/2)

M = (6/2, 4/2, -8/2)

M = (3, 2, -4)

Em seguida encontrar a distância desse ponto médio ao ponto C pela fórmula:

d MC = Raíz ( (xM-xC)² + (yM - yC)² + (zM - zC)²) Podendo também inverter a ordem dentro dos parênteses, pois quando eleva ao quadrado vai ficar positivo de qualquer forma.

d MC = Raíz ( (3 - 1)² + (2 - (-1))² + (-4 - 2)²)

d MC = Raíz ( 2² + (2 +1))² + (-6)²)

d MC = Raíz ( 2² + (3))² + (-6)²)

d MC = Raíz ( 4 + 9 + 36)

d MC = Raíz ( 49)

d MC = 7

É bom você fazer o desenho do triângulo em questão para ficar mais fácil resolver o exercício.

Espero ter ajudado.