Question

Seja o triângulo de vértice A(1 2), B (2 4) e C (4 1) no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC é:

A 9√10/70
B 8
C 9/10
D 5/π12
E 3√3

Answer 1

Olá! 
Essa é um pouco longa, então fique atento!
Primeiro temos um triangulo com vértices nos pontos A(1,2) B(2,4) e C(4,1)
(Vou dar upload num rascunho esquematizando)
Teremos que descobrir a equação da reta primeiramente para AC e depois BC.
y=mx+n =>2=m+n; 1=4m+n => 1=3m+2 => m=-1/3; logo n=7/3.
RetaAC=y=-x/3+7/3
Agora a Reta BC:
1=4m+n; 4=2m+n => 1=2m+4 => m=-3/2; logo n=7.
RetaBC=y=-3x/2+7
-----------------------------------------------------------------------------------------
Agora descobriremos as alturas do ponto B até a reta AC e depois do ponto A até a reta BC:
Sabemos que os angulos que formam 90 graus, quando multiplicados seus coeficientes angulares, resulta em -1, e é exatamente isso que queremos!
primeiro, faremos uma nova equação da reta que parte de B e vai até a reta AC, ok? para isso pegaremos o coeficiente angular de AC e descobriremos a nova reta:
-1/3*m=-1 => m=3; agora queremos que a reta passe por B, então usaremos as coordenadas de B para determinar a reta:
y=3x+b; 4=3*2+b => b=-2.
Agora sabemos que a equação da primeira altura vale Yh1=3x-2.
Vamos a segunda altura que parte do ponto A e enconta o BC com 90 graus! para isso, aplicaremos o mesmo conhecimento de coeficientes angulares:
-3/2*m=-1 => m=2/3. Queremos que a reta passe pelo ponto A; usaremos as coordenadas de A(1,2).
2=2/3*1+b => b=4/3. 
Yh2=2x/3+4/3
Ótimo, temos todas as equações, agora descobriremos as coordenadas de encontro entre as duas alturas igualando as duas equações:
2x/3+4/3=3x-2 => 2x+4=9x-6 => 7x=10 => x=10/7.
Agora descobriremos o Y de encontro:
2/3*10/7+4/3=Yencontro => 20/21+28/21 => Yencontro=48/21.
Agora usaremos o teorema de distância entre ponto e reta:
|Ax+By+C|
--------------
RAIZ DE (A²+B²)

Para isso vamos encontrar a forma completa da equação AC => 3y+x-7=0.
x+3y-7=0 => Utilizaremos os pontos do encontro:
|1*10/7+3*48/21-7|
--------------------------- => 10/7+48/7-49/7 =>9/7
(10)^1/2                         -----------------------------   =>9/7*Raiz de 10.
                                             (10)^1/2
Racionalizando temos: 9*Raiz de 10
                                     ------------------              
                                         7*10
R:9raiz de 10
    ---------------
         70

(Adicionei o esquema simplificado nas imagens, o passo a passo está por aqui.)