Question

Seja o determinante |1 X 4.|
|0 1 1. |
|x. 0. -5| Com x € IR para que o determinante seja sempre positivo então:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Shainy, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte matriz. Pede-se o valor de "x" para que o determinante da matriz seja positivo (ou maior do que zero, pois positivo quer dizer maior do que zero, ok?). Vamos armar a matriz pedida e já vamos deixá-la na forma de desenvolver (regra de Sarrus), e colocando o sinal de maior do que zero (> 0) para informar que o determinante é positivo:

|1......x......4|1.....x|

|0.....1.......1|0......1| > 0 ---- desenvolvendo para achar o determinante, temos:

|x.....0....-5|x.....0|

1*1*(-5) + x*1*x + 4*0*0 - [x*1*4 + 0*1*1 + (-5)*0*x] > 0 ---- desenvolvendo, temos:

- 5 + x² + 0 - [4x + 0 + 0] > 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

-5 + x² - [4x] > 0 ---- retirando-se os colchetes, teremos:

-5 + x² - 4x > 0 ------ vamos apenas ordenar, ficando assim:

x² - 4x - 5 > 0 ----- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = -1; e x'' = 5 <--- Estas são as duas raízes da equação acima.

Agora vamos estudar a variação de sinais da equação encontrada [x² - 4x + 5 > 0] em função de suas raízes (x' = -1 e x'' = 5). Assim, teremos:

x² - 4x + 5 > 0 .... + + + + + + + (-1) - - - - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + + + + + + + + + +

Veja: conforme o gráfico acima, verificamos que a função será maior do que zero apenas para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes). Assim, o determinante da matriz dada será positivo se e somente se:

x < -1,  ou x > 5 ------ Esta é a resposta. Ou seja, o determinante da matriz dada só será positivo se "x" for menor do que "-1" ou se for maior do que "5".

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x < -1, ou x > 5}.

Também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = (-∞; -1) ∪ (5; +∞).

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.