Question

Seja f a função definida por f(x)=x3+2x2+1. Encontre os valores de c entre 0 e 3 tal que a tangente ao gráfico de f no ponto (c,f(c)) seja paralela à secante entre os dois pontos (0,f(0)) e (3,f(3)).

Answer 1

Para que a reta tangente à função seja paralela à reta secante, devemos ter que o valor de c é igual a 5/3.

Reta tangente

Temos que a imagem da função nos pontos x = 0 e x = 3, são iguais a:

f(0) = 1

f(3) = 27 + 18 + 1 = 46

Para que as retas sejam paralelas, as inclinações das duas retas devem coincidir. Dessa forma, temos que, a reta secante descrita possui inclinação igual a:

(46 - 1)/(3 - 0) = 45/3 = 15

A inclinação da reta tangente à curva associada a função f no ponto (c, f(c)) é igual ao valor da derivada da função no ponto x = c. Logo, temos a seguinte igualdade:

$f' (c) = 15$

$3c^2 + 4c = 15$

$c = -3 \quad c = 5/3$

Como o valor de c está entre 0 e 3, temos que, o valor de c é igual a 5/3.

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