Question

Seja (a1, a2, a3, a4) a progressão geométrica de termos positivos tal que
a2 = 2 e a4 = 8. Seja (b1, b2, ... , b7) a progressão geométrica de termos positivos tal que b1 = a1 e
b7 = a4. Determine todos os termos bn.

Answer 1

Primeiro vamos determinar a progressão geométrica ($a_1, a_2, a_3, a_4$). Sabemos que o termo geral de uma PG é

$a_n = a_1\cdot q^{n-1}$

Sabemos $a_2$ e $a_4$, vamos colocar seus valores na fórmula.

$a_4 = a_1 \cdot q^3 \rightarrow a_1 \cdot q^3 = 8\\a_2 = a_1 \cdot q \rightarrow a_1 \cdot q = 2$

Podemos reescrever a primeira equação como:

$a_1 \cdot q \cdot q^2 = 8$

E substituir pelo que encontramos na segunda.

$2q^2 = 8\\[1ex]q^2 = 4\\[1ex]q = \sqrt4\\[1ex]q = 2$

Sabendo agora que a razão é 2, é fácil determinar $a_1$

$a_1 \cdot q = 2\\a_1 \cdot 2 = 2\\a_1 = 1$

Agora vamos para a progressão ($b_1, b_2, \cdots , b_7$), na qual $b_1 = 1$ e $b_7 = 8$.

Precisamos descobrir a razão dessa PG para determinar todos os seus termos.

$b_7 = b_1 \cdot q^6\\[1ex] 8 = 1 \cdot q^6\\[1ex] q = \sqrt[6]{8}\\[1ex] q = \sqrt[6]{2^3} \\[1ex] q = \sqrt2$

Vamos determinar todos os termos da progressão b:

$b_1 = 1\\\\b_2 = 1 \cdot \sqrt2 = \sqrt2\\\\b_3 = \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\\\\b_4 = 2 \cdot \sqrt2 = 2\sqrt2\\\\b_5 = 2\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 4\\\\b_6 = 4 \cdot \sqrt2 = 4\sqrt2\\\\b_7 = 4\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 8$

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