Question

Seja a sequência (aₙ) n ≥ 1, definida como mostrado abaixo.


a₁ = 1
a₂ = 2 + 3
a₃ = 4 + 5 + 6
a₄ = 7 + 8 + 9 + 10
...


A - Encontre a fórmula do termo geral de aₙ

B - Calcule a₂₅

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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá, SuperAks.

Usando do modelo que foi dado, vamos expandir um pouco:
$\mathsf{a_1 = 1}\\ \mathsf{a_2 = 2 + 3}\\ \mathsf{a_3 = 4 + 5 + 6}\\ \mathsf{a_4 = 7 + 8 + 9 + 10}\\\mathsf{a_5 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15}\\ \mathsf{a_6 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21}\\ \mathsf{a_7 = 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28}$

Observando os números desse modo, é possível notar padrões.
1° padrão observado: o número de termos a serem somados é sempre igual ao valor de n, em aₙ.
2° padrão observado: todas as somas mostram-se como um P.A positiva e crescente, de razão igual a 1.
3° padrão observado: O primeiro e último termo de cada soma podem ser calculados por formas algébricas. Chamarei de "p" o primeiro termo e "u" o último termo de a.
$\mathsf{u_n=(n+1)\cdot(n/2)}\\\\\mathsf{p_n=\dfrac{n^2+n}{2}+1-n}$

Para confirmar, vamos testar valores para p e u com 3 números diferentes: 3, 5 e 6.

Para p:
$\mathsf{p_n=\dfrac{n^2+n}{2}+1-n}\\\\\\\mathsf{p_3=\dfrac{3^2+3}{2}+1-3}\\\\\mathsf{p_3=\dfrac{9+3}{2}-2}\\\\\mathsf{p_3=\dfrac{12}{2}-2}\\\\\mathsf{p_3=6-2}\\\\\boxed{\mathsf{p_3=4~\checkmark}}\\\\\\\mathsf{p_n=\dfrac{n^2+n}{2}+1-n}\\\\\\\\\mathsf{p_5=\dfrac{5^2+5}{2}+1-5}\\\\\mathsf{p_5=\dfrac{25+5}{2}-4}\\\\\mathsf{p_5=\dfrac{30}{2}-4}\\\\\mathsf{p_5=15-4}\\\\\boxed{\mathsf{p_5=11~\checkmark}}\\\\\\\mathsf{p_6=\dfrac{6^2+6}{2}+1-6}\\\\\mathsf{p_6=\dfrac{36+6}{2}-5}\\\\\mathsf{p_6=\dfrac{42}{2}-5}\\\\\mathsf{p_6=21-5}\\\\\boxed{\mathsf{p_6=16~\checkmark}}$

Para u:
$\mathsf{u_n=(n+1)\cdot(n/2)}\\\\\\\mathsf{u_3=(3+1)\cdot(3/2)}\\\\\mathsf{u_3=(4)\cdot1,5}\\\\\boxed{\mathsf{u_3=6~\checkmark}}\\\\\mathsf{u_5=(5+1)\cdot(5/2)}\\\\\mathsf{u_5=6\cdot2,5}\\\\\boxed{\mathsf{u_5=15~\checkmark}}\\\\\mathsf{u_6=(6+1)\cdot(6/2)}\\\\\mathsf{u_6=7\cdot3}\\\\\boxed{\mathsf{u_6=21~\checkmark}}$

Para calcularmos o termo geral, podemos usar a expressão para soma de termo de uma P.A, onde a₁ será pₙ e aₙ será uₙ. De modo mais visual, temos:
$\boxed{\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=a_n=\dfrac{(p_n+u_n)\cdot n}{2}}}$

Para achar o termo geral, podemos substituir na fórmula acima o valor algébrico de pₙ e uₙ,
Vamos aos cálculos:
$\mathsf{a_n=\dfrac{(p_n+u_n)\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{\left[ \left( \dfrac{n^2+n}{2}+1-n\right)+(n+1)\cdot(n/2)\right]\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{\left[ \dfrac{n^2+n}{2}+1-n+\dfrac{n^2+n}{2}\right]\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{\left[ \not2\cdot\dfrac{n^2+n}{\not2}+1-n\right]\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{[n^2+n+1-n]\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{a_n=\dfrac{[n^2+1]\cdot n}{2}}\\\\ \boxed{\mathsf{a_n=\dfrac{n^3+n}{2}}}$

Tendo encontrado a fórmula geral (respondendo a A), podemos calcular a B.
Antes, um teste com as 3 primeiras sequências:
$\mathsf{a_n=\dfrac{n^3+n}{2}}\\\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{1^3+1}{2}}\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{1+1}{2}}\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{2}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{a_1=1\checkmark}}\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{2^3+2}{2}}\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{8+2}{2}}\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{10}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{a_2=5\checkmark}}\\\\\mathsf{a_3=\dfrac{3^3+3}{2}}\\\\\mathsf{a_3=\dfrac{27+3}{2}}\\\\\mathsf{a_3=\dfrac{30}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{a_3=15~\checkmark}}$

Todos os testes geraram respostas que confirmam que o termo está correto.
Agora, calculemos o a₂₅:
$\mathsf{a_n=\dfrac{n^3+n}{2}}\\\\\mathsf{a_{25}=\dfrac{25^3+25}{2}}\\\\\mathsf{a_{25}=\dfrac{15.625+25}{2}}\\\\\mathsf{a_{25}=\dfrac{15.650}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{a_{25}=7.825}}$

a₂₅ é igual à 7.825.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.