Question

Seja a função polinômio do 1º grau:

{f: R -> R
{f(x) = ax+b, a≠0

Verifique que f é bijetora. Determine f⁻¹.

(Se alguém puder me explicar tbm eu agradeço).

Answer 1

Oi

Uma função é bijetora quando é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Uma função f:A ⇒B é sobrejetora quando, para todo y pertencente a B, existe um x pertencente a A, tal que f(x) = y. Isso quer dizer, basicamente, que f: A ⇒ B é sobrejetora se o conjunto-imagem coincide com o conjunto B.

Uma função f: A⇒B é injetora quando, para todo $x_1$ e $x_2$ do domínio A, se $x_1 \neq x_2$ ⇒ $f(x_1) \neq f(x_2)$

No caso de uma função f(x)=ax + b (função do primeiro grau), de domínio real e contradomínio real (f: R ⇒ R), para cada y, existe um único x (sendo, por isso, sobrejetora). E, para todo $x_1$ e para todo $x_2$ pertencentes ao domínio, se $x_1 \neq x_2$ ⇒ $f(x_1) \neq f(x_2)$ (sendo, por isso, injetora). Logo, f(x)=ax + b é bijetora. O gráfico desta função facilita a visualização e compreensão desta propriedade (lembrando que este gráfico é uma reta que intercepta o eixo x quando f(x)=0, e o eixo y no ponto P(0, b).

b) $f^{-1}(x)$ é uma função inversa. Vamos analisar rapidinho uma função do 1° grau.

f(x) = y = 2x + 5

x = 0 ⇒ y = 5
x = 1 ⇒ y = 7
x = 2 ⇒ y = 9

Na função inversa, a relação simplesmente se inverte:

5 ⇒ 0
7 ⇒ 1
9 ⇒ 2

Para encontrar a lei da função inversa, aplicamos duas estratégias na equação da função original.

Primeiro, isolamos o x:

$y = 2x+5 \\ y-5=2x \\ \frac{(y-5)}{2} =x$

Depois, trocamos as variáveis (o que era x, passa a ser y, e vice-versa):

$\\x= \frac{(y-5)}{2} \\ \\ y= \frac{(x-5)}{2}$

Pronto. É só conferir.

Se x = 5 ⇒ y = 0
Se x = 7 ⇒ y = 1 (etc.)

Aplicando estes passos em f(x)= ax + b:

Isolamento:

$y=ax+b \\ \frac{(y-b)}{a} =x$

Troca de variáveis:

$y= \frac{(x-b)}{a}$

Logo, $f^{-1}= \frac{(x-b)}{a}$

Espero que ajude. ^^