Question

Seja a função f definida por:

Calcular lim f(x)
→2

Answer 1

Quando X tende há valores muito proximos de 2 como 1,99999 ou 2,000001 o valor da função será 5

• Mas, como chegamos nesse resultado?

Temos a seguinte função

$F(x)= \dfrac{2x^2-3x-2}{x-2}~~~~se~x~\neq 2$

$F(x)= 3~~~se~x~=2$

Bem a questão nos informa que quando X for igual a 2 o valor de F(x) será 3. Mas,  e quando X  tende a um número bem proximo de 2 qual é o seu valor ?

Para saber, vamos fazer o seguinte limite

$\lim _{x\to 2}\left(\dfrac{2x^2-3x-2}{x-2} \right)$

Perceba que quando substituirmos X por 2 nessa expressão achamos um resultado indeterminado

$\lim _{x\to 2}\left(\dfrac{2x^2-3x-2}{x-2} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{2\cdot 2^2-3\cdot 2-2}{2-2} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{0}{0} \right)????$

Perceba que o resultado dará  um fração $\dfrac{0}{0}$ que é um valor indeterminado, pois não conseguirmos dividir nenhum número por 0

então temos que fazer esse 0 desaparecer do denominador da fração para isso iremos fatorar a expressão de modo que o  valor do denominador (X-2) seja simplificado, de maneira que não causa indeterminação

Vamos lá, perceba que não podemos fatorar X-2, pois ja está na forma mais fatorada possivel. Mas, podemos fatorar $2x^2-3x-2$

Para fatorar esse polinomio  existem varias maneiras,  irei fazer pelo metodo tradicional, note que esse polinomio é do tipo  $AX^2+BX+C$

$2x^2-3x-2\\\\A=2\\B=-3\\C=-2$

Primeiro temos que multiplicar o  A pelo C que dará a multiplicação

$2\cdot -2= \boxed{-4}$

o -4 sera há multiplicação  

é o valor do B será a soma que é $-3$

Ou seja, temos que pensa em dois números que multiplicado dão -4 é somados dão -3

a resposta para isso é  -4 é 1. Pois

$\boxed{-4\cdot 1=-4}\\\\\boxed{-4+1=-3}$

então agora podemos reescrever nossa função assim

$2x^2-3x-2\Rightarrow \boxed{2x^2+x-4x-2}$

Perceba que não mudamos nada, apenas reescrever o -3x de maneira diferente

agora vamos por em evidencia os termos em comum

$2x^2+x-4x-2\\\\x(2x+1) -2(2x+1)\\\\\\\boxed{(x-2)\cdot(2x+1)}$

Perceba que se multiplicamos esse dois polinomios voltaremos com a expressão original

$\boxed{(x-2)\cdot(2x+1) =2x^2-3x-2}$

Agora basta reescrevemos nosso limite  com a forma fatorada

$\lim _{x\to 2}\left(\dfrac{2x^2-3x-2}{x-2} \right) \Rightarrow\lim _{x\to 2}\left(\dfrac{(2x+1)\cdot (x-2)}{x-2} \right)\Rightarrow \lim _{x\to 2}\left(2x+1} \right)\Rightarrow \\\\\lim _{x\to 2}(2\cdot x+1)\Rightarrow (2\cdot 2+1)\Rightarrow \boxed{5}$

assim concluimos que quando X tende há valores muito proximos de 2 como 1,99999 ou 2,000001 o valor da função será 5