Question

Se tg (x-y)+2x=5-2y e tg(y-x)+y=7-x, então o valor de x+y é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Answer 1

tg (x-y)+2x=5-2y => tg(x-y)= 5-2y-2x
tg(y-x)+y=7-x   => tg(y-x) =7-x-y
 a função tangente é uma função ímpar
tg(x-y)=-tg(y-x)

fica
 5-2y-2x =-(7-x-y)
5-2y-2x=-7+x+y
-3x-3y=-12 divide por (-3)

-========
x+y=4
=============

-

Answer 2

(i) Lembra-se de função par e função ímpar? Se não se lembra, vamos relembrar.

Uma função é par quando $f(x)=f(-x)$
Uma função é ímpar quando $f(x)=-f(-x)$

A função tangente é uma função ímpar, mas no que isso ajuda nessa questão? Veja só:

$\mathrm{tg}(y-x)=\mathrm{tg}(-(x-y))\\ \\ \underline{\mathrm{tg}(y-x)=-\mathrm{tg} (x-y)}$

(ii) Reescrevendo o que foi dado encontramos:

$\mathrm{tg}(x-y) = 5-2x-2y\\ \mathrm{tg}(y-x) = 7-x-y$

E substituindo essas expressões no que encontramos no ponto anterior encontramos o seguinte:

$7-x-y = -(5-2x-2y)\Rightarrow 7-x-y=-5+2x+2y\\ 3x+3y=12\Rightarrow 3(x+y)=12\\ \\ \boxed{x+y=4}$