Question

se 0 < a < b, então prove que sqrt(ab) < (a+b)/2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Observe o seguinte produto notável:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b} )^{2}$

Como é uma expressão elevada ao quadrado, podemos afirmar com certeza que ela é maior ou igual a zero. No entanto, 0 < a < b; Logo, sqrt(a) ≠ sqrt(b). Então, temos que o binomio acima sempre é maior que zero:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b} )^{2} > 0$

Agora, basta desenvolvê-lo:

$a - 2\sqrt{a} \sqrt{b} + b > 0\\ \\ a + b > 2\sqrt{ab}\\ \\ \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos  lá,

Se $0 < a < b$, então prove que $\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$

Sabemos que $a$ e $b$ são números positivos, tal que: $a < b$, daí podemos  concluir que se:

$a < b \Longrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Subtraindo $\sqrt{b}$ que é um número positivo de ambos os lados, temos que:

$a < b\Longrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}\Longrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b} < \sqrt{b} -\sqrt{b}\Longrightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$

Mas se $\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$, ou seja, é um número negativo, sabemos que todo número negativo elevado a 2 fica positivo daí, temos:

$\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0 \Longrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 >0$

Daí, temos:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 >0 \Longrightarrow (\sqrt{a})^2 -2.\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2>0\\\\a - 2\sqrt{ab} + b >0\\\\a + b > 2\sqrt{ab}\\\\\frac{a+b}{2} >\sqrt{ab}\\\\\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$

Espero ter ajudado!!!