Question

saibamos que g(2) = −4 eg0(x) = √x
2 + 5 para todo x
a) Use uma aproxima¸c˜ao linear para estimar g(1, 95) e g(2, 05).
b)Suas estimativas na parte (a) s˜ao muito grandes ou pequenas? Explique.

Answer 1

Utilizando a aproximação linear, podemos estimar que:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}g(1{,}95) &= -4{,}15\\ \\g(2{,}05) &= -3{,}85\\ \\ \\\end{aligned}$

A partir da derivadas podemos fazer uma aproximação famosa em Cálculo I, chamada de Polinômio de Taylor, primeiro vamos lembrar como calcular a reta tangente a um ponto da curva utilizando a noção de derivada, a definição de derivada em um ponto é:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(a)=\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\end{aligned}$

A partir dessa fórmula, podemos isolar f(x) e descobrir a reta tangente, portanto:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(a) + f'(a)(x-a)\end{aligned}$

Porém isso só é verdadeiro quando a se aproxima de a, por isso ela só é precisa numa dada vizinhança de x.

Todavia podemos expandir essa aproximações para graus maiores, como por exemplo:

             $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)\dfrac{(x-a)^2}{2!}\end{aligned}$

E graus maiores ainda:

      $\large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)\dfrac{(x-a)^2}{2!} + f'''(a)\dfrac{(x-a)^3^}{3!}\end{aligned}$

Podemos fazer isso o quanto quisermos, e quanto mais aumentar mais o polinômio se ajusta a curva, esse polinômio se chama polinômio de Taylor, a sua fórmula geral é:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}P(x) = \sum\limit_{k = 0}^{n} f^{(k)}(a)\dfrac{(x-a)^k}{k!}\end{aligned}$

Se fizermos esse processo infinitas vezes chamamos de Série de Taylor.

Dado o enunciado, teremos que fazer o polinômio de grau 1, portanto a aproximação é dada por uma reta, por isso o nome aproximação linear.

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(a) + f'(a)(x-a)\end{aligned}$

Vamos fazer a aproximação ao redor do 2, portanto a = 2,

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(2) + f'(2)(x-2)\end{aligned}$

Fazendo a substituição da função derivada temos:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) =f(2) + \sqrt{2^2+5}\,(x-2)\end{aligned}$

Colocando os dados do enunciado:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) &=-4+3(x-2)\\ \\f(x) &=-4+3x-6\\ \\f(x) &=3x-10\\ \\\end{aligned}$

Portanto a nossa aproximação linear é:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) = 3x - 10\end{aligned}$

Podemos finalmente calcular as aproximações em f(1,95) e f(2,05)

                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(1{,}95) &= 3(1{,}95) - 10\\ \\f(1{,}95) &= -4{,}15\\ \\ \\f(2{,}05) &= 3(2{,}05) - 10\\ \\f(2{,}05) &= -3{,}85\\ \\ \\\end{aligned}$

Veja como essas aproximações estão proximas de -4, mostrando que a reta num pequeno intervalo se aproxima ao valor da função original.

O que é uma aproximação muito decente pois a função tem o valor aproximado* de:

                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}g(1{,}95) = -4{,}125\\ \\g(2{,}05) = -3{,}872\end{aligned}$

Logo, o erro é:

                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}E(1{,}95) &= 0{,}024\\ \\E(2{,}05) &=-0{,}022\\\end{aligned}$

Se quisessemos estimativas mais precisas, bastava aumentar o grau do polinômio, o erro desejado vai depender de cada situação, podemos estimar qual grau usar fixando a margem de erro máximo.

Dito isso, o exercício está finalizado, gráfico da função g(x) e da aproximação f(x) estarão em anexo.

* Foi dito que o valor aproximado de g(x) era aquele pois quando se faz a integral, uma constante precisa ser determinada, pela complexidade da função foi diíficil determinar essa constante, então adotei ela como $\sqrt{62}$, o que me gerou bons resultados.

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

Retas Tangentes - brainly.com.br/tarefa/35023308

Polinômio de Taylor - brainly.com.br/tarefa/31399372

Polinômio de Taylor - brainly.com.br/tarefa/20413643