Question

Sabendo que cos(a+B)=0, demonstre que sen(a+2B)= sena. Valendo 30 pontos, para resposta correta!

Answer 1

temos que:

Cos(a + b) = 0

Pelas entidades trigonométricas sabemos:

cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)
_______________

Logo teremos:

cos(a)cos(b) -sen(a)sen(b) = 0
Cos(a)Cos(b)=Sen(a)Sen(b)

____________ eq 1

Pela entidade trigonométrica, temos que:

Sen(a+2b) = Sen(a+b + b)

Sabemos que:

Sen(p+q) = sen(p)cos(q) + Cos(p)Sen(q)
__________

Então, Sen(a+b + b) =

Sen(a+b)Cos(b) +Cos(a+b)Sen(b)
___________

Tinhamos que Cos(a+b) =0

logo,

Sen(a+b+b) = Sen(a+b)cos(b)

fatorando Sen(a+b)
_______________
Sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
________________

Logo, Sen(a+2b) =

= [sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)]cos(b)

Aplicando distributiva:

= sen(a)cos²(b) + cos(a)sen(b)cos(b)

= sen(a)cos²(b) +cos(a)cos(b)sen(b)
____________

Tinhamos na primeira equação que:

cos(a)cos(b) =sen(a)sen(b)

então,

sen(a+2b) =

= sen(a)cos²(b) + sen(a)sen(b)sen(b)

= sen(a)cos²(b)+ sen(a)sen²(b)

Colocando sen(a) como fator comum:

= sen(a)[ cos²(b) + sen²(b)]


Entidade trigonométrica:

sen²(x) + cos²(x)=1
__________

então,

sen(a+2b) =

= sen(a)*1

= sen(a)