Question

Sabendo que a soma dos inversos das raízes do polinômio P(x)= +x^4+3x³-4x²+ax+b é igual a 3/2 e que o resto da divisão de P(x) por x-2 é igual a 36, determine a e b.

Answer 1

$p(x)=2x^{ 4 }+3x^{ 3 }-4x^{ 2 }+ax+b\\ \\ p(2)=36\\ p(2)=2*2^{ 4 }+3(2)^{ 3 }-4(2)^{ 2 }+a(2)+b\\ p(2)=32+24-16+2a+b=36\\ p(2)=2a+b=36-40\\ p(2)=2a+b=-4$

$r1+r2+r3+r4=\frac { -b }{ a } \\ \\ r1r2+r3r4+r1r3+r2r4+r1r4+r2r3=\frac { c }{ a } \\ \\ r1r2r3+r2r3r4...=\frac { -d }{ a } \\ \\ r1*r2*r3*r4=\frac { e }{ a }$

$\frac { 1 }{ r1 } +\frac { 1 }{ r2 } +\frac { 1 }{ r3 } +\frac { 1 }{ r4 } =\frac { 3 }{ 2 } \\ \\ \frac { r2r3r4+r1r3r4+r1r2r4+r1r2r3 }{ r1r2r3r4 } \\ \\ \frac { r2r3r4+r1r3r4+r1r2r4+r1r2r3 }{ r1r2r3r4 } =\frac { -\frac { a }{ 2 } }{ \frac { b }{ 2 } } \Leftrightarrow -\frac { a }{ b } \\ \\ -\frac { a }{ b } =\frac { 3 }{ 2 }$

$-2a=3b\\ 3b+2a=0\\ \\ 2a+b=-4\\ 2a+3b=0\quad (-1)\\ \\ \quad 2a+b=-4\\ -2a-3b=0\\ \\ -2b=-4\quad (-1)\\ 2b=4\\ b=\frac { 4 }{ 2 } \rightarrow 2\\ \\ \\ 2a+2=-4\\ 2a=-4-2\\ a=-\frac { -6 }{ 2 } \rightarrow -3\\ \\ a=-3\\ b=2$