Question

Sabe-se que: o numero natural K dividido pelo numero natural A dá quociente 56 e resto zero; K dividido pelo numero natural B dá quociente 21 e reto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de K é igual a:
a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

Answer 1

Precisa-se saber divisibilidade e como representar um número de dois algarismos para resolver essa questão.

i) Foi dito na questão que ao dividir $K$ por $A$ e $B$ encontramos resto 0, isso quer dizer que:

$\begin{cases}K=q_1.A\\ K=q_2.B\end{cases}$

onde esses $q_1$ e $q_2$ são os quocientes da divisão de $K$ por $A$ e $B$, respectivamente. Perceba que são dados os quocientes na questão, então podemos reescrever as igualdades acima como:

$\begin{cases}K=56A\\ K=21B\end{cases}$

Como o $K$ é o mesmo em ambas as igualdades podemos dizer que:

$56A=21B\ {:7 \atop \Longrightarrow} \ \boxed{8A=3B}$

ii) Como tanto $A$ e $B$ são números de dois algarismos podemos representá-los como

$\begin{cases}A=10x+y\\ B=10y+x\end{cases}$

já que os algarismos de $B$ são os mesmos de $A$, mas ao contrário. Substituindo isso na relação que encontramos anteriormente teremos:

$8A=3B\Rightarrow 8(10x+y)=3(10y+x)\\ 80x+8y=30y+3x\\ 77x=22y\\ \\ \boxed{7x=2y}$

iii) Como tanto $x$ e $y$ são algarismos temos que eles só podem assumir valores inteiros entre 0 e 9. Vamos, então, atribuir valores a $x$ para encontrarmos $y$

a) $x=1$
$2y=7.1\Rightarrow 2y=7\Rightarrow y=3,5 \ (N\~AO \ PODE)$

b) $x=2$
$2y=7.2\Rightarrow y=7\ (OK)$

c) $x=3$
$2y=7.3\Rightarrow 2y=21\Rightarrow y=10,5\ (MAIOR\ QUE \ 9)$

Para $x>3$ encontramos $y>9$, o que não pode acontecer, portanto o único caso possível é que $x=2$ e $y=7$, daí

$\begin{cases}A=27\\ B=72\end{cases}$

iv) Agora, pra terminar, vamos encontrar o valor de $K$ e somar seus algarismos. Já temos os valores de $A$ e $B$, agora é só substituir um deles naquelas igualdades do começo para encontrar $K$.

$K=56A\Rightarrow K=56.27\Rightarrow \boxed{K=1512}$

Como se deseja saber a soma dos algarismos de $K$ temos que a resposta é

$1+5+1+2=9$

R: e) 9