Responda às seguintes perguntas a respeito da função ????(????) = ????????−???? /????−????????∶ a) Qual é o domínio de ????? b) Qual é a inversa de ?????
#UFPR
#VESTIBULAR
Soluções para a tarefa
Para alternativa a) e b), respectivamente teremos: D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4} ; G^-1 (x) = x + 4 / 3 + 4x.
Vamos aos dados/resoluções:
É sabido que para alternativa a) A função g(x) é uma fração, portando como não pode haver divisão por 0, o valor do denominador tem que ser diferente de 0. Essa é a única restrição para a função, pois o numerador pode possuir qualquer valor.
Assim, o domínio de g(x) é:
1 - 4x ≠ 0
- 4x ≠ - 1
x ≠ 1/4
Ou seja, x pode ser qualquer valor, exceto 1/4, pois quando x = 1/4 o denominador zera. Vide:
1 - 4x ⇒ 1 - 4(1/4) ⇒ 1 - 4/4 ⇒ 1 - 1 ⇒ 0 (isso não pode ocorrer)
Portanto, o domínio de g(x) é:
D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4}
Para alternativa b) temos que a função inversa g^-1 (x). Vamos chamar g(x) de y só pra equação ficar mais organizada, logo teremos:
y = 3x - 4 / 1 - 4x ;
Primeiramente, isolaremos x:
Y = 3x - 4 / 1 - 4x ; 3x - 4 = y (1 - 4x) = 3x - 4 = y - 4xy ;
3x + 4xy = y + 4 ;
x (3 + 4y) = y + 4 ;
x = y + 4 / 3 + 4y ;
Agora inverteremos a relação: trocamos o x por y por x;
X = y + 4 / 3 + 4y ;
y = x + 4 / 3 + 4x ;
Portanto, a inversa de g(x) é:
G - 1 (x) = x + 4 / 3 + 4x ;
Se preferir (acho mais fácil) pode fazer a inversão diretamente na função original e então isolar o y:
y = 3x - 4 / 1 - 4x ;
x = 3y - 4 / 1 -4y ;
Finalizando então:
3y - 4 = x (1 - 4y) ;
3y - 4 = x - 4xy = 3y + 4xy = x + 4 ;
y (3 + 4x) = x + 4 ;
y = x + 4 / 3 + 4x;
Encontramos o mesmo resultado:
g^-1 (x) = x + 4 / 3 + 4x.
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)