Question

Resolva o sistema de equações lineares a seguir, utilizando o procedimento com matriz aumentada

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{S=\{x_1,~x_2,~x_3=(-1,~-2,~-3)\}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos resolver o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3=4\\\\-2x_1+\dfrac{x_2}{4}-\dfrac{x_3}{3}=\dfrac{5}{2}\\\\ \dfrac{x_1}{3}-\dfrac{x_2}{2}+x_3=-\dfrac{7}{3}\\\end{cases}$

Colocamos este sistema na notação de matriz aumentada:

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\-2 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{5}{2} \\\\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{7}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}$

Para determinarmos se o sistema é possível e determinado, indeterminado ou impossível, devemos calcular o determinante da matriz principal:

$\begin{vmatrix}1 & 2& -3 \\\\-2 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \\\\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 1 \\\end{vmatrix}=\dfrac{10}{9}$

Visto que o determinante é diferente de zero, este sistema é possível e determinado (apresenta apenas uma solução).

Então, realizamos a eliminação de Gauss. Consiste em escolhermos um elemento pivô (geralmente  é um elemento da diagonal principal e multiplicarmos sua linha por uma constante, de forma que ao somá-la a outra, zere os elementos abaixo do pivô.

Seja o primeiro elemento pivô: $a_{11}=1$.

Multiplique a primeira linha por $2$ e some à segunda linha

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\-2 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{5}{2} \\\\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{7}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot2+L_2\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\0 & \dfrac{17}{4} & -\dfrac{19}{3} & \dfrac{21}{2} \\\\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{7}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}$

Então, multiplique a primeira linha por $-\dfrac{1}{3}$  e some à terceira linha

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\0 & \dfrac{17}{4} & -\dfrac{19}{3} & \dfrac{21}{2} \\\\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{7}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)+L_3\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\0 & \dfrac{17}{4} & -\dfrac{19}{3} & \dfrac{21}{2} \\\\ 0 & -\dfrac{7}{6} & 2 & -\dfrac{11}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}$

Agora, escolhemos o próximo elemento pivô: $a_{22}=\dfrac{17}{4}$

Multiplique a segunda linha por $\dfrac{14}{51}$ e some à terceira linha

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\0 & \dfrac{17}{4} & -\dfrac{19}{3} & \dfrac{21}{2} \\\\ 0 & -\dfrac{5}{6} & \dfrac{10}{9} & -\dfrac{11}{3} \\\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_2\cdot\dfrac{14}{51}\right)+L_3\\\\\\ \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}1 & 2& -3 & 4 \\\\0 & \dfrac{17}{4} & -\dfrac{19}{3} & \dfrac{21}{2} \\\\ 0 & 0 & \dfrac{40}{153} & -\dfrac{40}{51} \\\end{array}\end{bmatrix}$

Então, podemos reescrever o sistema como:

$\begin{cases}x_1+2x_2 -3x_3 = 4 \\\\~~~\,\,\,\,\,\,\dfrac{17x_2}{4} -\dfrac{19x_3}{3} = \dfrac{21}{2} \\\\ ~~~~~~~~~~~~~-\dfrac{40~x_3}{153} = \dfrac{40}{51} \\\end{array}\end{bmatrix}$

As soluções serão:

$\dfrac{40x_3}{153}=-\dfrac{40}{51}\\\\\\ x_3=-3$

Substituindo este valor na segunda equação, temos:

$\dfrac{17x_2}{4} -\dfrac{19\cdot(-3)}{3} = \dfrac{21}{2}\\\\\\ \dfrac{17x_2}{4} +19 = \dfrac{21}{2}\\\\\\ \dfrac{17x_2}{4} = -\dfrac{17}{2}\\\\\\ x_2= -2$

Substituindo estes valores na primeira equação, teremos:

$x_1+2\cdot(-2) -3\cdot(-3) = 4\\\\\\ x_1-4+9 = 4\\\\\\ x_1=-1$

As soluções deste sistema são:

$S=\{x_1,~x_2,~x_3=(-1,~-2,~-3)\}$