Question

Resolva essa P.A:
2 + 5 + 8 + ..... + x = 77
Como eu resolvo? (é uma Progressão Aritmética)

Answer 1

$2+5+8+...+x=77$

Informações:

a₁=2
r=5-2=3
Sn=77

Fórmula do termo geral da P.A.:
$A_n=a_1+(n-11)*r \\a_n=2+(n-1)*3 \\ a_n=2+3n-3 \\ an=\boxed{3n-1 }$

Logo após determinar o "an" -- último termo da sequência -- é necessário ir para a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.A. Note que na fórmula da soma dos termos, há elementos como: a₁, Sn e An - e esse foi o motivo de eu ter que determinar o "an" primeiramente, para, basicamente, substituir na fórmula:

$Sn= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ 77=\frac{(2+3n-1)*n}{2} \\ \\ 77=\frac{(2n-n+3n^2)}{2} \\ \\ 154=2n-n+3n^2} \\ -3n^2-n+154=0\ \ *(-1) \\ 3n^2+n-154=0$

Δ=b²-4ac
Δ=1²-4*3*(-154)
Δ=1+1848
Δ=1849

$n= \frac{-b+- \sqrt{delta} }{2a} \\ \\ n= \frac{-1+- \sqrt{1849} }{2*3} \\ \\ n= \frac{-1+- 43 }{6} \\ \\ n'= \frac{-1+43}{6}= \frac{42}{6}=\boxed{7} \\ \\ n''= \frac{-1-43}{6}= -\frac{44}{6}= -\frac{22}{3}$

Obs: como, no final das contas, o cálculo tomou direção para uma equação do segundo grau, é fato que haveria , como possível resposta, dois valores. Mas vale lembrar que: do mesmo jeito que não existe medida de figura geométrica negativa, não poderei considerar o número de elementos como sendo negativo; logo, somente o x' tem a resposta que satisfaz e que é o número 7. 
Ps: uma exemplo forte: já imaginou se em uma questão fosse pedido que a altura de alguém fosse descoberta e daí fosse para uma equação do segundo grau e eu pensasse em admitir o valor negativo? É meio que impensável alguém possuir, por exemplo, -1,45 cm de altura. u.u
Bom, com isso em mente, sei que o valor que admitirei como "n" será 7 - e o que significa "n'"? Número de termos.
Agora basta substituir 7 como valor de "n'' em "an=3n-1"

$a_n=3n-1\\ a_n=3*7-1\\ a_n=21-1\\ \boxed{a_n=20} \\ \\ x=20$

Lembra que eu disse que o "an" é o último termo da P.A.? Pois é, tendo como base isso, posso afirmar: se 'an' é dito o último termo e "x" - valor antes desconhecido - é o último termo da P.A. dada inicialmente, então, posso afirmar: an=x, então x=20. 
obs: só escrevi isso acima para esclarecer para  você, :) - mesmo que até eu tenha me confundido com essas palavras de livro de matemática, depois que resolvi ler.
 
Resposta: o valor de "x" é igual a 20.