Question

Questão n° 20Com relação às equações das elipses 25x~ + 16y2 + 150x + 256y -351 = 0 16x2 + 25y2- 96x - 200y + 144 = 0, podemos afirmar quea)as elipses têm centros coincidentes.b)as elipses têm a mesma distância focal.c)as elipses têm a mesma excentricidade.d)as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas.e)o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra.

Answer 1

Olá

A equação reduzida que representa uma elipse é dada por

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

sendo c² = a² - b²

excentricidade: $\frac{c}{a}$

centro: (h, k)

focos: (c + h, k) e (-c + h, k)

vértices: (a + h, k) e (-a + h, k)

extremidades do eixo: (h, b + k) e (h, -b + k)

eixos de simetria: x = h e y = k

Dadas as equações das elipses, vamos deixá-las na forma reduzida para extrair informações.

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$25x^2 + 16y^2 + 150x + 256y -351 = 0$

$25x^2 + 150x + 225 + 16y^2 + 256y + 1024 -1600 = 0$

$25(x^2 + 6x + 9) + 16(y^2 + 16y + 64) = 1600$

$25(x - (-3))^2 + 16(y - (-8))^2 = 1600$

$\frac{(x - (-3))^2}{64} + \frac{(y - (-8))^2}{100} = 1$

$\frac{(x - (-3))^2}{8^2} + \frac{(y - (-8))^2}{10^2} = 1$

Assim, h = -3, k = -8, a = 8, b = 10.

Segue que:

metade da distância focal: c = 6

centro: (-3, -8)

focos:

(6 + (-3), -8) e (-6 + (-3), -8)

(3, -8) e (-9, -8)

excentricidade:

$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

vértices:

(8 + (-3), -8) e (-8 + (-3), -8)

(5, -8) e (-11, -8)

extremidades do eixo maior:

(-3, 10 + (-8)) e (-3, -10 + (-8))

(-3, 2) e (-3, -18)

eixos de simetria: x = -3 e y = -8

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$16x^2 + 25y^2- 96x - 200y + 144 = 0$

$16x^2 - 96x + 25y^2 - 200y + 144 = 0$

$16x^2 - 96x + 144 + 25y^2 - 200y + 400 - 400 = 0$

$16(x^2 - 6x + 9) + 25(y^2 - 8y + 16) = 400$

$16(x - 3)^2 + 25(y - 4)^2 = 400$

$\frac{(x - 3)^2}{25} + \frac{(y - 4)^2}{16} = 1$

$\frac{(x - 3)^2}{5^2} + \frac{(y - 4)^2}{4^2} = 1$

Assim, h = 3, k = 4, a = 5, b = 4.

Segue que:

centro: (3, 4)

metade da distância focal: c = 3

focos:

(3 + 3, 4) e (-3 + 3, 4)

(6, 4) e (0, 4)

excentricidade: 
$\frac{3}{4}$

vértices:

(5 + 3, 4) e (-5 + 3, 4)

(8, 4) e (-2, 4)

extremidades do eixo menor:

(3, 4 + 4) e (3, -4 + 4)

(3, 8) e (3, 0)

eixos de simetria:

x = 3 e y = 4

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Vamos analisar as alternativas:

a) as elipses têm centros coincidentes.

FALSA, pois o centro da primeira é (-3, -8) e o da segunda é (3, 4).

b) as elipses têm a mesma distância focal.

FALSA, pois

- a distância focal da primeira é 3 - (-9) = 12.

- a distância focal da segunda é 6 - 0 = 6.

c) as elipses têm a mesma excentricidade.

VERDADEIRA, pois a excentricidade de ambas é $\frac{3}{4}$.

d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas.

FALSA, pois o eixo das abscissas é o eixo x. Note que as coordenadas dos focos não possuem 0 em x:

- primeira: (3, -8) e (-9, -8)

- segunda: (6, 4) e (0, 4)

e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra.

FALSA, pois

- eixo maior da primeira: (-3, 2) e (-3, -18), então eixo maior é 2 - (-18) = 20.

- eixo menor da segunda: (3, 8) e (3, 0), então eixo menor é 8 - 0 = 8.

Não é o dobro.

- eixo menor da primeira: (5, -8) e (-11, -8), então eixo menor é 5 - (-11) = 16.

- eixo maior da segunda: (8, 4) e (-2, 4), então eixo maior é 8 - (-2) = 10.

Não é o dobro.

Espero ter ajudado. Abraços =D