Questão 07)
Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces pentagonais. Então o número de faces e de vértices do poliedro são respectivamente:
a) 14 e 16
b) 12 e 14
c) 10 e 14
d) 10 e 12
e) 10 e 17
Soluções para a tarefa
Respondido por
70
Vamos lá.
Veja, Tuliogabriel, que a resolução é simples.
Primeiro veja que, pela fórmula de Euler, em todo poliedro convexo se verifica isto:
V + F = A + 2 , em que "V" é o número de vértices, "F" é o número de faces e "A" é o número de arestas.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que quando as faces são simples (ou seja, não sejam triangulares, não sejam quadrangulares, não sejam poligonais, etc, etc), então o número de faces geralmente é igual ao número de arestas.
Contudo, quando as faces NÃO são simples (são por exemplo triangulares, quadrangulares, poligonais, etc, etc,) então elas (esse tipo de face) geram arestas em dobro.
Dessa forma, como todas as faces desse polígono são poligonais, então vamos logo chamar o número de face da seguinte forma: 5*F = 5F, ou seja, quaisquer que seja o número de faces (F) ele sempre estaria multiplicado por "5" (pois as faces são poligonais). E como elas não são simples, então elas gerarão arestas (A) em dobro.
Então poderemos armar uma equação da seguinte forma:
5F = 2*A ---- ou seja: o número de faces poligonais vai gerar o dobro de arestas. Como já vimos que o número de arestas é de 25, então teremos que:
5F = 2*25
5F = 50
F = 50/5
F = 10 <---- Este é o número de faces do polígono da sua questão.
ii) Agora vamos para a fórmula de Euler, que é esta:
V + F = A + 2 ---- substituindo-se "F" por "10" e "A" por "25", teremos:
V + 10 = 25 + 2
V + 10 = 27
V= 27 - 10
V = 17 <--- Este é o número de vértices do polígono da sua questão.
iii) Agora vamos ao número de faces e de vértices, respectivamente, desse polígono. Assim, como vimos, o polígono da sua questão tem 10 faces e 17 vértices. Logo, o número de faces e vértices será, respectivamente::
10 e 17 <--- Esta é a resposta. Opção "e".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Tuliogabriel, que a resolução é simples.
Primeiro veja que, pela fórmula de Euler, em todo poliedro convexo se verifica isto:
V + F = A + 2 , em que "V" é o número de vértices, "F" é o número de faces e "A" é o número de arestas.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Note que quando as faces são simples (ou seja, não sejam triangulares, não sejam quadrangulares, não sejam poligonais, etc, etc), então o número de faces geralmente é igual ao número de arestas.
Contudo, quando as faces NÃO são simples (são por exemplo triangulares, quadrangulares, poligonais, etc, etc,) então elas (esse tipo de face) geram arestas em dobro.
Dessa forma, como todas as faces desse polígono são poligonais, então vamos logo chamar o número de face da seguinte forma: 5*F = 5F, ou seja, quaisquer que seja o número de faces (F) ele sempre estaria multiplicado por "5" (pois as faces são poligonais). E como elas não são simples, então elas gerarão arestas (A) em dobro.
Então poderemos armar uma equação da seguinte forma:
5F = 2*A ---- ou seja: o número de faces poligonais vai gerar o dobro de arestas. Como já vimos que o número de arestas é de 25, então teremos que:
5F = 2*25
5F = 50
F = 50/5
F = 10 <---- Este é o número de faces do polígono da sua questão.
ii) Agora vamos para a fórmula de Euler, que é esta:
V + F = A + 2 ---- substituindo-se "F" por "10" e "A" por "25", teremos:
V + 10 = 25 + 2
V + 10 = 27
V= 27 - 10
V = 17 <--- Este é o número de vértices do polígono da sua questão.
iii) Agora vamos ao número de faces e de vértices, respectivamente, desse polígono. Assim, como vimos, o polígono da sua questão tem 10 faces e 17 vértices. Logo, o número de faces e vértices será, respectivamente::
10 e 17 <--- Esta é a resposta. Opção "e".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
É isso aí, Tulio, agradecemos-lhe por haver eleito a nossa resposta como a melhor. Continue a dispor e um abraço.
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