Question

Que termo devemos adicionar à expressão 4x a oitava -6 x a quarta y + 9 y ao quadrado para q ela represente o quadrado de uma soma?

Answer 1

4x⁸ - 6x⁴y + 9y²

4x⁸ = (2x⁴)²
9y² = (3y)²

(2x⁴ + 3y)² = 4x⁸ + 2.(2x⁴.3y) + 9y²
(2x⁴ + 3y)² = 4x⁸ + 12x⁴y + 9y²  

Como na expressão original temos -6x⁴y, para chegarmos a 12x⁴y, temos que somar 18x⁴

4x⁸ - 6x⁴y + 9y² + 18x⁴y = 4x⁸ + 12x⁴y + 9y² = (2x⁴ + 3y)²

Answer 2

O termo que devemos adicionar para que a expressão represente um quadrado de uma soma é 18x⁴y.

O quadrado de uma soma, são expressões algébricas que podem ser desmembrada em produtos notáveis.

Dessa forma, temos a seguinte expressão:

                                            $\fbox{ 4x^{8} - 6x^{4}y + 9y^{2} }$

Essa expressão, pode ser reduzia na forma de produto notável, pela seguinte propriedade:

                            $\fbox{ (a + b)^2 = a^2 + 2 . a . b + b^2 }$

Logo, definindo a e b, teremos:    

                            $\fbox{ 4x^{8} = (2x^{4})^{2} \ e\ 9y^{2} = (3y)^{2} }$

Aplicando a regra do quadrado da soma:

                           $(2x^4 + 3y)^2 = 4x^8 + 2\times(2x^4\times3y) + 9y^2\\\\(2x^4 + 3y)^2 = 4x^8 + 12x^4y + 9y^2$

No entanto, percebe-se que a expressão do problema em questão, o termo central é $-6x^4y$, logo, basta somarmos com $+ 18x^4y$ para que tenhamos a mesma expressão original.

                          $4x^8 - 6x^4y + 18x^4y + 9y^2 = \fbox{ 4x^8 + 12x^4y + 9y^2 }$

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