Question

Quantos são os números naturais com quatro algarismos?Em quantos desses números o algarismo 8 aparece pelo menos uma vez?

Answer 1

Sendo o primeiro número natural com 4 algarismos o 1000 e o último o 9999, temos 9999-1000+1 números naturais de 4 algarismos, ou seja, 9000.
Então, de 1000 a 1099, temos 1008, 1018, 1028, 1038, 1048, 1058, 1068, 1078, 1080, 1088, 1098, ou seja, 11 números em que o 8 aparece pelo menos uma vez. Logo, de 1100 a 1199 serão 11 e continua assim até chegar em 1800, onde, até 1899, todos os números terão o 8, logo, de 1800 até 1899 são 100 números. E então, continua sendo 11 até 2799.
Então, temos de 1000 até 2000 = 11 x 8 + 100.
2001 até 3000 = 11 x 8 + 100; 3001 até 4000 = 11 x 8 + 100; 4001 até 5000 = 11 x 8 + 100; 5001 até 6000 = 11 x 8 + 100; 6001 até 7000 = 11 x 8 + 100; 7001 até 7999 = 11 x 8 + 100.
E será assim até 8000, em que, até 8999, absolutamente todos os números terão pelo menos um número 8, ou seja, 1000 números.
Daí continua a mesma coisa: 9000 até 9999 = 11 x 8 + 100. Sabendo que 11 x 8 = 88, temos no total (contando quantas vezes escrevi "11 x 8 + 100") 8 x 88 + 8 x 100 + 1000. 8 x 88= 704 + 800 + 1000 = 2504.
Logo, são 9000 números naturais com 4 algarismos e 2504 números naturais de 4 algarismos com pelo menos um número 8. Espero ter ajudado :3