Question

Quantos algarismos tem o inteiro N = 2² . 3³ . 4 elevado a 4 . 5 elevado a 5 . 64 elevado a 64 . 125 elevado a 125

Answer 1

$N=2^{2}.3^{3}.4^{4}.5^{5}.64^{64}.125^{125} \\ N=2^{2}.3^{3}.2^{2.4}.5^{5}.2^{6.64}.5^{3.125} \\ N=2^{2+8+384}.3^{3}.5^{5+375} \\ N=2^{394}.3^{3}.5^{380} \\ \\ logN=log(2^{394}.3^{3}.5^{380}) \\ logN=log2^{394}+log3^{3}+log5^{380} \\ logN=394.log2+3.log3+380.log5 \\ logN=394.log2+3.log( \frac{30}{10} ) +380.log( \frac{10}{2}) \\ logN=394.log2+3.(log30-log10)+380.(log10-log2) \\ logN=394.log2+3.log30-3+380-380log2 \\ logN=14.log2+3.log30+377 \\ logN=14.log( \frac{60}{30}) +3.log30+377$
$logN=14.(log60-log30) +3.log30+377 \\ logN=14.log60-14log30+3.log30+377 \\ logN=14.1,77-11.1,47+377 \\ logN=24,78-16,17+377 \\ logN=8,61+377 \\ logN=385,61$

De acordo com a regra, o número de algarismos de um número é seu logaritimo (parte inteira) mais um:

$x=385+1 \\ \boxed{x=386}$