Question

Quantas soluções tem a equação 2cos²x + cosx - 1 = 0, no universo U = [3π/2, 2π ]

Answer 1

Resposta:

Somente uma solução cujo valor é 5π/3 rad.

Explicação passo-a-passo:

2cos²x + cosx - 1 = 0

Chamando y=cosx

2y²+y-1=0

$\displaystyle Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~2y^{2}+y-1=0~~e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~determinamos~os~coeficientes:~\\a=2{;}~b=1~e~c=-1\\\\C\'alculo~do~discriminante~(\Delta):&\\&~\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(1)^{2}-4(2)(-1)=1-(-8)=9\\\\C\'alculo~das~raizes:&\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)-\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(1)+\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=0,5\\\\S=\{-1,~0,5\}$

Para y'= -1:

y'=cosx= -1

cosx= cos(π+k2π), para k={0,1,2,3}

x=π+k2π, para k={0,1,2,3} => ∉ [3π/2, 2π ]

Para y''= 0,5:

y''=cosx= 0,5

1a solução:

cosx= cos(π/3+k2π), para k={0,1,2,3}

x=π/3+k2π, para k={0,1,2,3} => ∉ [3π/2, 2π ]

2a solução:

cosx= cos(5π/3+k2π), para k={0,1,2,3}

x=5π/3+k2π, para k={0,1,2,3}

Para k=0: x=5π/3+0.2π=5π/3 rad => ∈[3π/2, 2π ] ∴ uma solução

Para k=1: x=5π/3+1.2π=11π/3 rad => ∉ [3π/2, 2π ]