Question

Qual o vértice da parábola que tem como raízes -1 e 5 e que corta o eixo y em 2?

Answer 1

Quando o gráfico corta o eixo y é quando x=0, logo em uma equação do 2° grau quando fazemos x=0, o que sobra é o termo independente da equação, ou seja, é o coeficiente "c".
Exemplo:

ax² + bx + c , para x=0 , y=c.

Temos as raízes -1 e 5 e c=2, por produto das raízes podemos determinar quem é o coeficiente "a" e  montar a equação desejada.

P(x1.x2) = c / a
(-1) . 5 = 2 / a
-5 = 2 / a
-5a = 2
a = -2/5

Foram fatorada da equação:

a(x-x1).(x-x2), onde "a" é o coeficiente do termo elevado ao quadrado
                        x1 e x2 são as raízes.

-2/5(x-(-1)).(x-5)⇒ -2/5 (x+1).(x-5)⇒ -2/5(x² - 5x  + x - 5)
-2/5(x² - 4x - 5) ⇒ -2/5x² + 8/5x  + 2

Vertices da parabola são encontrados pelas fórmulas:

Xvertice= -b / 2a
Yvertice= -Δ / 4a, onde Δ=b²-4ac.

Xvertice = -8/5 / 2.(-2/5) = -8/5 / -4/5 = 2

Δ=b² - 4ac ⇒ Δ = (8/5)² - 4(-2/5).2 ⇒Δ= 64/25 + 16/5 = 144/25

Yvertice = - 144/25 / 4.(-2/5) = -144/25 / -8/5 = 18/5

Logo as coordenadas do vértice são: (2, 18/5)